Hypothesentests

Stichprobe $10$ Nägel

$$\begin{array}{ccccccccccc}i& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \text{La¨nge in mm}& 20& 22& 19& 22& 18& 21& 18& 19& 21& 20\end{array}$$

Annahme:
Länge ist normalverteilt mit ${\sigma }^2=9m{m}^2$

• Wir gehen davon aus, dass die Angaben tatsächlich zutreffen (Nullhypothese $H_0$)
• Wir stellen die Angaben zur Diskussion (Alternativhypothese $H_1$)

Mathematische Schreibweise:

• Nullhypothese $H_0:\vartheta ={\vartheta }_0$
• Alternativhypothese $H_1:\vartheta \ne {\vartheta }_0$ (Zweiseitiger Test)

Beispiel

$H_0:\mu ={\mu }_0=22$
$H_1:\mu \ne {\mu }_0=22$

Signifikanzniveau wird gewählt, $\alpha =1\%$

Signifikanzniveau

Auch “Irrtumswahrscheinlichkeit” Ist die Wahrscheinlichkeit für bestimmte Fehlentscheidungen, die man in Kauf nehmen muss. Man spricht von der Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese $H_0$ abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist.
In der Praxis wird diese Wahrscheinlichkeit oft mit $\alpha =5\%$ oder $\alpha =1\%$ gewählt

Bestimme die Testvariable

$$T=g(X_1,\dots ,X_n)$$

abhängig von $n$ bis iid. Zufallsvariablen $X_1,\dots ,X_n$

$$T=\frac{\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{x}_i-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{10}}}\sim \mathbb{N}(0;1)$$

Bestimmen der kritischen Grenze $c_k,c_0$:
Nach der Wahl der Irrtumswahrscheinlichkeit lässt sich nun eine Konstante $c$ (kritischer Wert) so bestimmen, dass die Testgröße bei richtiger Nullhypothese mit der statistischen Sicherheit $\boxed{\gamma =1-\alpha }$ in das symmetrische Intervall fällt.

$$\begin{array}{lc}P(-c\le T\le c)& =P(T\le c)-P(T\le -c)\\ & =\Phi (c)-\Phi (-c)\\ & =\Phi (c)-(1-\Phi (c))\\ & =2\cdot \Phi (c)-1=0.99\\ \text{In Tabelle schauen}& \Rightarrow c=2.575\end{array}$$ $$\underset{c_k}{\underbrace{-2.575}}\le t\le \underset{c_0}{\underbrace{2.575}}$$

Berechne Testwert $\hat{t}$ der Testvariablen $T$ aus einer konkreten Stichprobe $x_1,\dots ,x_n$
$\hat{t}=g(x_1,\dots ,x_n)$

Bsp.

$$\hat{t}=\frac{\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i-22}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=-2.108$$

Testentscheid:
Fällt der Wert $\hat{t}$ in den Annahmebereich, dann wird $H_0$ nicht verworfen. Es wurde allerdings statistisch nicht bewiesen. Es kann sein, dass $H_0$ weiterhin gilt.

$\hat{t}=-2.108$ fällt in den Annahmebereich. $H_0$ kann nicht verworfen werden.

Hinweis

Sollte der Prüfwert in den kritischen Bereich fallen, dann ist die Nullhypothese $H_0$ nicht haltbar, wir müssen sie zu Gunsten von $H_1$ verwerfen.