Gruppen Ringe und Körper

Verschiedene Strukturen von Mengen

Sei $G$ eine Menge und $\circ$ eine Verknüpfung, die je zwei Elemente $a,b\in G$ ein Element $a\circ b\in G$ zugeordnet.
$(G,\circ )$ heißt “Gruppe” wenn gilt:

1. $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ für alle $a,b,c\in G$
2. Es existiert ein neutrales Element $n\in G$ für das gilt:
   $n\circ a=a\circ n=a$ für alle $a\in G$
3. Zu jedem $a\in G$ existiert ein inverses Element $i(a)\in G$ für dass gilt:
   $a\circ i(a)=i(a)\circ a=n$
4. Gilt zusätzlich
   $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$ so heißt $(G,\circ )$ “kommutative Gruppe” bzw. “abelsche Gruppe”

Beispiele

Verknüpfung: Addition

• $(\mathbb{Z},+)$ ist eine kommutative Gruppe, denn
  1. $a+(b+c)=(a+b)+c$
  2. $n=0:a+0=0+a=a$
  3. $i(a)=-a:a+(-a)=(-a)+a=0$
  4. $a+b=b+a$
• $({\mathbb{Z}}_m,+)$ $m$ beliebig, $(\mathbb{Q},+);(\mathbb{R},+)$
• $({\mathbb{N}}_0,+)$ keine Gruppe, da inverse Elemente fehlen
• gerade Zahlen $h=\{2n\mid n\in \mathbb{Z}\}\subset \mathbb{Z}$ bilden eine Untergruppe $(h,+)$ von $(\mathbb{Z},+)$

Verknüpfung Multiplikation

• $(\mathbb{Q},\ast )$ ist eine komplexe Gruppe, da
  1. $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c$
  2. $n=1:a\ast 1=1\ast a=a$
  3. $i(a)=\frac{1}{a}:$ da $\frac{1}{a}\ast a=a\ast \frac{1}{a}=1$ für $a\ne 0$
  4. $a\ast b=b\ast a$
• $({\mathbb{Z}}_p\setminus \{0\},\ast )p=$ Primzahl und $(\mathbb{R}\setminus ,\ast )$ sind kommutative Gruppen
• $(\mathbb{N},\ast )$ ist keine Gruppe, da keine Inversen Elemente existieren
  Bsp: $a=3i(a)=\frac{1}{3}\notin \mathbb{N}$