Umrechnung von Zahlensystemen

Zahlensysteme

Ein Zahlensystem hat eine Basis $b$ und exakt $b$ unterschiedliche Ziffern. $0;1;2;3;\dots ;(b-1)$
Jede Stelle $a$ einer Zahl $Z$ im Zahlensystem symbolisiert die maximale Vielfachheit von $b^a$ die kleiner ist als $Z$

2	4	1	0
$b^3$	$b^2$	$b^1$	$b^0$
Die Zahl ${2410}_b$ mit $b>4$ ist also die Zahl die sich folgendermaßen zusammensetzt:

$$2\ast b^3+4\ast b^2+1\ast b^1+0\ast b^0$$

Die Zahl $b$ selbst wird dementsprechend immer als ${10}_b$ dargestellt.

Umrechnung

Das Ergebnis der Umrechnung wird eine Zahl sein, die $\lfloor {\log }_{b}Z\rfloor$ Stellen lang ist.

Klassischer Algorithmus

$${2023}_{10}={11111100111}_2={0000011111100111}_{2\text{16-Bit}}$$

Eine Zahl $Z$ soll in ein Zahlensystem mit Basis $b$ umgerechnet werden.
Dazu wird $Z$ $DIVb$ und $\mathrm{mod}b$ gerechnet.
$Z_{n}DIVb=Z_{n+1}$
$Z_n\mathrm{mod}b=\text{n-te Stelle des Ergebnisses}$

Diese Schritte werden wiederholt bis $Z_{n}DIVb=0$

Beispiel

$2023$ in Binär

2023	DIV 2		2023	MOD 2	1
1011	DIV 2		1011	MOD 2	1
505	DIV 2		505	MOD 2	1
252	DIV 2		252	MOD 2	0
126	DIV 2		126	MOD 2	0
63	DIV 2		63	MOD 2	1
31	DIV 2		31	MOD 2	1
15	DIV 2		15	MOD 2	1
7	DIV 2		7	MOD 2	1
3	DIV 2		3	MOD 2	1
1	DIV 2		1	MOD 2	1
0
Dabei ist das Ergebnis in umgekehrter Reihenfolge angegeben, also Least-Significant-Bit zuerst.
$2023_{10}\to \mathrm{11.111.100.11}{1}_2$

---

$2023$ im Oktalsystem

2023	DIV 8		2023	MOD 8	7
252	DIV 8		252	MOD 8	4
31	DIV 8		31	MOD 8	7
3	DIV 8		3	MOD 8	3
0
$2023_{10}\to 3747_8$

Euklidischer Algorithmus

Der Euklidische Algorithmus kann auch zur Umrechnung von Zahlensystemen verwendet werden.

Setup

1. $n=\lfloor {\log }_{b}Z\rfloor$
2. $Z_n=Z$
   Loop While $(n>0)$
3. $a_n=Z_{n}DIVn$
4. $n=n-1$
5. $Z_n=Z_{n+1}\mathrm{mod}{b}^n$

Die Werte $a_n$ sind die einzelnen Stellen des Ergebnisses, wobei die Reihenfolge der Berechnung in absteigender Signifikanz erfolgt. $a_n$ ist also das MSB und $a_1$ das LSB.

Beispiel

Zur besseren Vergleichbarkeit wird erneut $2023$ in das Binärsystem umgerechnet.

$2023$	$\mathrm{mod}1024$		2023	DIV 1024	$1$	MSB
$999$	$\mathrm{mod}512$		999	DIV 512	$1$
$487$	$\mathrm{mod}256$		487	DIV 256	$1$
$231$	$\mathrm{mod}128$		231	DIV 128	$1$
$103$	$\mathrm{mod}64$		103	DIV 64	$1$
$39$	$\mathrm{mod}32$		39	DIV 32	$1$
$7$	$\mathrm{mod}16$		7	DIV 16	$0$
$7$	$\mathrm{mod}8$		7	DIV 8	$0$
$7$	$\mathrm{mod}4$		7	DIV 4	$1$
$3$	$\mathrm{mod}2$		3	DIV 2	$1$
$1$	$\mathrm{mod}1$		1	DIV 1	$1$	LSB
$0$