Determinanten

Zweireihige Determinanten | Determinante 2. Ordnung

Treten bei der Untersuchung von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten auf.

$$\begin{array}{rlrl}{a}_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2& =b_1& |& \times a_{22}\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2& =b_2& |& \times (-a_{12})\\ & & & \\ a_{11}\cdot a_{22}\cdot x_1+a_{12}\cdot a_{22}\cdot x_2& =b_1\cdot a_{22}& & \\ -a_{21}\cdot a_{12}\cdot x_1-a_{22}\cdot a_{12}\cdot x_2& =-b_2\cdot a_{12}& & \\ & & & \\ (1)+(2)& & & \\ & & & \\ a_{11}\cdot a_{22}\cdot x_1-a_{21}\cdot a_{12}\cdot x_1& =b_1\cdot a_{22}-b_2\cdot a_{12}& & \\ & & & \\ \dots & & & \end{array}$$ $${x}_1=\frac{b_1\cdot a_{22}-b_2\cdot a_{12}}{a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}}$$

Gleiches Prinzip führt ebenfalls zu:

$$x_2=\frac{b_2\cdot a_{11}-b_1\cdot a_{21}}{a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}}$$

Der Nenner der Lösungen $x_1$ und $x_2$ nennt man die Determinante der Koeffizientenmatrix $A$
Determinante $D=det\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$
Für die Zähler gilt $D_1=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|$ und $D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|$

Cramer’sche Regel für ein (2x2)-System

Die Lösungen des LGS sind mit den obigen Definitionen
$x_1=\frac{D_1}{D}{x}_2=\frac{D_2}{D}$

Kriterien zur Lösbarkeit

$D\ne 0\to$ Genau eine Lösung
$D=D_1=D_2=0\to$ Unendlich viele Lösungen
$D=0$ und $(D_1\vee D_2)\ne 0\to$ Keine Lösung ($D=0$ und nicht alle $D_i=0$)

Determinanten 3. und höherer Ordnung

3. Ordnung

In einem $(3\times 3)$ LGS lässt sich die Determinante analog zum $(2\times 2)$ System herleiten.

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2+a_{13}\cdot x_3& =b_1\\ a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2+a_{23}\cdot x_3& =b_2\\ a_{31}\cdot x_1+a_{32}\cdot x_2+a_{33}\cdot x_3& =b_3\end{array}$$

$x_1=\frac{D_1}{D}{x}_2=\frac{D_2}{D}{x}_3=\frac{D_3}{D}$

$$D=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$$

Durch Ausklammern der Elemente in der z.B. ersten Zeile $a_{11},a_{12},a_{13}$ wird eine Rekursion ersichtlich

D &=a_{11} \cdot (a_{22} \cdot a_{33} - a_{32} \cdot a_{23}) - a_{12} \cdot (a_{21} \cdot a_{33} - a_{31} \cdot a_{23}) + a_{13} \cdot (a_{21} \cdot a_{32} - a_{31} \cdot a_{22}) \\ &= -a_{11} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{13} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \end{array}$$ "Entwicklung der Determinante nach der 1. Zeile" Bildung der Summanden in den Entwicklungsformeln mit Hilfe von sogenannter "Unterdeterminanten" $\rightarrow$ Streichen der Zeile bzw. Spalte des ausgeklammerten Elements führt zu einer Untermatrix Beispiel

A =
\begin{pmatrix}
\cancel{1} & \cancel{3} & \cancel{4} \
2 & \cancel{0} & 1 \
3 & \cancel{1} & 2
\end{pmatrix}
\quad
A =
\begin{pmatrix}
1 & \cancel{3} & 4 \
\cancel{2} & \cancel{0} & \cancel{1} \
3 & \cancel{1} & 2
\end{pmatrix}
\quad
A =
\begin{pmatrix}
1 & \cancel{3} & 4 \
2 & \cancel{0} & 1 \
\cancel{3} & \cancel{1} & \cancel{2}
\end{pmatrix}

$$D = -a_{12} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + a_{22} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - a_{23} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Das Vorzeichen des ausgeklammerten a hängt davon ab, ob die Indexsumme gerade ist. Gerade $\rightarrow +$ Ungerade $\rightarrow -$ ## Allgemeine Determinante Durch Streichen der $i$-ten Zeile und der $k$-ten Spalte entsteht aus der $n$-reihigen Quadratischen Matrix $A$ eine $(n-1)$-reihige quadratische Untermatrix mit der zugehörigen $(n-1)$-reihigen Unterdeterminante $U_{ik}$ ("Reihe" als Oberbegriff für Zeile und Spalte) Als Adjunkte $A_{ik}$ des Elements $a_{ik}$ bezeichnet man den Ausdruck

A_{ik}=(-1)^{i+k} \cdot U_{ik} \quad \begin{Bmatrix} i & = & 1,2,3 \ k & = & 1,2,3 \end{Bmatrix}

$$DieVorzeichenderAdjunktesindalsoSchachbrett-artigangeordnet$$

\begin{pmatrix} + & - & + \ - & + & - \ + & - & + \end{pmatrix}

A=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 \
2 & 0 & 1 \
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}

$$giltf\ddot{u}rdieAdjunktedererstenSpaltealso:$$

\begin{array}{}
A_{11} =& (-1)^{1+1} \cdot
\begin{vmatrix} 0 & 1 \ 1 & 2 \end{vmatrix} =& -1 \
\
A_{12} =& (-1)^{1+2} \cdot
\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & 2 \end{vmatrix} =& -1 \
\
A_{13} =& (-1)^{1+3} \cdot
\begin{vmatrix} 2 & 0 \ 3 & 1 \end{vmatrix} =& 2 \
\end{array}$$

Cramer’sche Regel für ein (3x3)-System

Auch hier ist die Regel analog zur $(2\times 2)$ Matrix anwendbar.
Die “rechte” Seite des LGS wird für die Spalten eingesetzt und die Determinante bestimmt. So erhält man die Determinanten $D;D_1;D_2;D_3$ und mit ihnen die Lösungen des LGS
$x_1=\frac{D_1}{D}{x}_2=\frac{D_2}{D}{x}_3=\frac{D_3}{D}$