Matrizen

Definition

Rechteckige Zahlenschemen mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten heißen $(m\times n)$-Matrix.
Eine Matrix $A$ ist formell definiert als linearer Operator der einem $n$-Tupel $x$ das $m$-Tupel $y$ zuordnet. $A$ angewendet auf $x$ ergibt $y$.

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 1& 0& -6\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$

Wenn $x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ wird durch Anwenden von $A$ der Vektor $y=\left(\begin{array}{c}8\\ -5\end{array}\right)$ generiert. Anwenden bedeutet, die Koordinaten des Vektors in das durch $A$ beschriebene LGS einzusetzen.

Für eine allgemeine Matrix gilt:

$$A=(a_{ik})=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Wobei $a_{ik}\in \mathbb{K}$ Elemente der Matrix sind; $i$ der Zeilenindex und $k$ der Spaltenindex ist.

Bezeichnungen

• Diagonalmatrizen: alle Elemente die nicht auf der Hauptdiagonalen sind, sind zwingend $=0$

$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 8\end{array}\right)$$

• Einheitsmatrix: Alle Elemente sind $=0$, außerdem sind alle Elemente der Hauptdiagonalen $=1$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• Skalarmatrix: Einheitsmatrix die mit einem Faktor $c$ skaliert wurde

$$\left(\begin{array}{ccc}c& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$$

Rechenregeln für Matrizen

• Gleichheit: Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie die exakt selbe Größe haben und in jedem Element übereinstimmen.
• Skalare Multiplikation: $p\ast A$ Jedes Element der Matrix wird mit dem Faktor $p$ multipliziert
• Addition: Die Größen müssen übereinstimmen, Elemente mit gleichen Indexen werden einzeln addiert.

Multiplikation

Das Produkt zweier Matrizen $A:(m\times n)$ und $B:(n\times m)$ ist eine Matrix $C:(m\times m)$
Dabei gilt das Kommutativgesetz nicht. Meistens ist also $A\times B\ne B\times A$

Jedes Element der Resultatmatrix ist das Skalarprodukt einer Zeile aus $A$ und einer Spalte aus $B$. Dabei ist $c_{13}$ das Produkt der 1 Zeile von $A$ mit der ersten Spalte aus $B$.

Eigenschaften der Matrixmultiplikation

Das Kommutativgesetz gilt nicht, dafür aber einige andere Regeln:

• $(p\ast A)\ast B=A\ast (p\ast B)$
• $(A\ast B)\ast C=A\ast (B\ast C)=A\ast B\ast C$
• $A\ast (B+C)=A\ast B+A\ast C$
• $(A+B)\ast C=A\ast C+B\ast C$
• Die Nullmatrix kann das Ergebnis einer Multiplikation von zwei Matrizen sein, die nicht selbst die Nullmatrix sind

Transponieren einer Matrix

Die transponierte Matrix $A^T$ entsteht aus $A$ indem Zeilen und Spalten vertauscht werden, bzw. an der Hauptdiagonales gespiegelt wird. Wenn $A:(n\times m)$ groß ist, so hat $A^T:(m\times n)$

Es gilt:

• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(A^T{)}^T=A$
• $(A\ast B{)}^T=B^T\ast A^T$
• NICHT $(A\ast B{)}^T=A^T\ast B^T$

Spezielle Matrizen

Eine Quadratische Matrix heißt “symmetrisch”, falls $A=A^T$, also $a_{ik}=a_{ki}$ für alle $k,i$
Sie ist “schiefsymmetrisch” wenn $B^T=-B$. Somit muss die Hauptdiagonale mit $0$ belegt sein, da keine andere Zahl ihr eigenes additives Invers ist.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 4\\ 1& 12& 0\\ 4& 0& -3\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 2& 0& 8\\ -1& -8& 0\end{array}\right)$$

Eine quadratische Matrix die $\frac{\text{oberhalb}}{\text{unterhalb}}$ der Hauptdiagonalen nur Nullen enthält, heißt eine $\frac{\text{obere}}{\text{untere}}$ Dreiecksmatrix.

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ -6& 3& 10\end{array}\right)$$

Eine Matrix die nur in der Nähe der Hauptdiagonalen Werte ungleich $0$ enthält, heißt Bandmatrix.

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 0& 0\\ -3& 5& 8& 0& 0\\ 0& 6& 7& 1& 0\\ 0& 0& 4& 13& 2\\ 0& 0& 0& 1& -1\end{array}\right)$$

Invertierbare Matrizen

Motivation:
Bei Linearen Gleichungen gilt $a\ast x=b\to x=a^{-1}\ast b$
Auch bei Matrizen? $A\ast x=b\to x=A^{-1}\ast x$

Inversion einer $(2\times 2)$-Matrix mit der Cramer’schen Regel

$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$$

Wenn $det(A)\ne 0$ ist, dann gilt laut Cramer’scher Regel:

$$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{D_1}{D}=\frac{1}{det(A)}\ast \left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|=\frac{1}{det(A)}\ast (a_{22}\ast b_1-a_{12}\ast b_2)\\ \\ x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{1}{det(A)}\ast \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=\frac{1}{det(A)}\ast (-a_{21}\ast b_1+a_{11}\ast b_2)\end{array}$$

Wobei $D=det(A)$

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\boxed{\frac{1}{det(A)}\ast \left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& -a_{11}\end{array}\right)}\ast \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$$

Bzw.

$$x=\boxed{A^{-1}}\ast b$$

Inversion einer Regulären $(2\times 2)$-Matrix

Jede zweireihige quadratische Matrix $A$ mit $det(A)\ne 0$ besitzt eine inverse Matrix $A^{-1}$
Wenn $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$
Dann gilt $A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast \left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right)$

Beispiel

$$A\ast x=bA=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& 2\end{array}\right)b=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$$

also

$$\begin{array}{l}4x_1+1x_2=5\\ 5x_1+2x_2=1\end{array}$$

Mit $x=A^{-1}\ast b$

$$\begin{array}{l}{A}^{-1}=\frac{1}{4\ast 2-5\ast 1}\ast \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 4\end{array}\right)=\frac{1}{3}\ast \left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{5}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right)\\ x_1=\frac{2}{3}\ast 5-\frac{1}{3}\ast 1=\frac{9}{3}=3\\ x_2=-\frac{5}{3}\ast 5+\frac{4}{3}\ast 1=-\frac{21}{3}=-7\\ \\ \to x=\left(\begin{array}{c}3\\ -7\end{array}\right)\end{array}$$

$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\to \nexists B^{-1}$
Die inverse Matrix zu $B$ existiert nicht, $B$ ist singulär

Eigenschaften der inversen Matrix

Rechenregeln

1. $A\ast A^{-1}=A^{-1}\ast A=E$
2. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
3. $(A\ast B{)}^{-1}=B^{-1}\ast A^{-1}$
4. $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

Überlegung zu 1.

$$\begin{array}{ll}A\ast x=b& |\ast A^{-1}\text{ von Links}\\ \boxed{(A^{-1}\ast A)}\ast x=A^{-1}\ast b& \\ \boxed{=E},\text{ da }x=A^{-1}\ast b& \end{array}$$

Allgemeine Definition

Eine quadratische Matrix heißt invertierbar wenn $A^{-1}$ existiert mit der Eigenschaft
$A\ast A^{-1}=A^{-1}\ast A=E$

Anwendung

Lösen von Matrizengleichungen

$$\begin{array}{ll}A\ast X=BA;B;X=\text{Matrix}& \\ & \\ A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& -2\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& -8\\ -4& -9& 14\end{array}\right)& \\ & \\ \to X=(2\times 3)& \\ & \\ A\ast X=B& |\ast A^{-1}\text{ von Links}\\ A^{-1}\ast A\ast X=A^{-1}\ast B& \\ X=A^{-1}\ast \boxed{B}& \\ & \\ \boxed{\boxed{A^{-1}}}=\frac{1}{-1}\ast \left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& -2\end{array}\right)& \\ & \\ X=\boxed{\boxed{\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 4\end{array}\right)}}\ast \boxed{\left(\begin{array}{ccc}2& 5& -8\\ -4& -9& 14\end{array}\right)}& \\ & \\ =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ 2& 3& -4\end{array}\right)& \end{array}$$

Eigenwerte & Eigenvektoren

Eigenvektor einer Matrix ist der Vektor, der durch Multiplikation mit der Matrix zu seinem eigenen Vielfachen wird.

$$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 4& 6\end{array}\right)v=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\\ \\ A\ast v=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 4& 6\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 28\end{array}\right)=7\ast \left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)\end{array}$$

Ein Eigenvektor einer $(m\times n)$-Matrix ist ein Vektor $x$ so dass gilt:
$A\ast x=\lambda \ast x$
Wobei $\lambda$ ein Skalar ist. Dieser Skalar wird als Eigenwert von $A$ bezeichnet.
Eigenvektor $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$ gehört zum Eigenwert ${\lambda }_1=7$
Und $w=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right){\lambda }_2=-2$
Alle quadratischen Matrizen haben Eigenvektoren und zugehörige Eigenwerte. Diese sind allerdings nicht immer reell.

Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Damit $\lambda$ ein Eigenwert einer Matrix $A$ ist, muss das homogene Lineare Gleichungssystem

$$\begin{array}{lc}A\ast x& =\lambda \ast x\\ A\ast x-\lambda \ast E\ast x& =0\\ x\ast (A-\lambda \ast E)& =0\end{array}$$

Unendlich viele Lösungen besitzen. Da der Nullvektor immer eine Lösung ist, bedeutet jede weitere, dass es unendlich viele gibt.
Dies ist genau dann der Fall, wenn $det(A-\lambda \ast E)=0$ ist (vgl. Cramer’sche Regel)

Herleitung anhand eines Beispiels

$$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& -1\end{array}\right)\\ \\ A-\lambda \ast E=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 3& -1\end{array}\right)-\lambda \ast \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7-\lambda & 3\\ 3& -1-\lambda \end{array}\right)\\ \\ det(A-\lambda \ast E)=(7-\lambda )(-1-\lambda )-3\ast 3=-7-7\lambda +\lambda +{\lambda }^2-9\\ \\ ={\lambda }^2-6\lambda -16\end{array}$$

Dies ist die Charakteristische Gleichung der Matrix. Ihre Nullstellen sind die Eigenwerte.

$$\begin{array}{l}{\lambda }^2-6\lambda -16=0\\ \to {\lambda }_1=8{\lambda }_2=-2\end{array}$$

Bestimmung der zugehörigen Eigenvektoren

Einsetzen der Eigenwerte in die Matrix ergibt ein LGS

$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{cc}7-8& 3\\ 3& -1-8\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \\ \left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 3& -9\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ \\ \to x=\left(\begin{array}{c}3t\\ t\end{array}\right)\end{array}$$

Alle Vielfachen des Vektors $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ sind Eigenvektoren zum Eigenwert $8$.
Analog ergibt sich $\left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)$ für den zweiten Eigenwert. Die Symmetrie der Ergebnisse ist hier zufällig.

$(3\times 3)$-Matrix

$$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{ccc}4& -3& 0\\ 4& -1& -2\\ 1& -3& 3\end{array}\right)\\ \\ A-\lambda \ast E=\left(\begin{array}{ccc}4-\lambda & -3& 0\\ 4& -1-\lambda & -2\\ 1& -3& 3-\lambda \end{array}\right)\\ \\ \dots \\ \\ =-{\lambda }^3+{\lambda }^2-11\lambda +6\\ \\ \dots \\ \\ {\lambda }_1=1\to \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\\ {\lambda }_2=2\to \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 3\end{array}\right)\\ {\lambda }_3=3\to \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\end{array}\right)\end{array}$$

Sonderfälle

$A$ und $A^T$:

Beide Matrizen haben die gleiche Determinante und Charakteristische Gleichung. Somit sind auch ihre Lösung, damit die Eigenwerte und auch die Eigenvektoren gleich

Dreiecksmatrizen

Die Eigenwerte stehen auf der Hauptdiagonalen.

$$\begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 0& 2& -1\\ 0& 0& -3\end{array}\right)\\ \\ det(A-\lambda \ast E)=det\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 4& 2\\ 0& 2-\lambda & -1\\ 0& 0& -3-\lambda \end{array}\right)\\ \\ =(1-\lambda )\ast (2-\lambda )\ast (-3-\lambda )+0\ast (\dots )\end{array}$$

Der Satz von Nullprodukt löst die charakteristische Gleichung. Somit sind die Werte der Hauptdiagonalen die Eigenwerte.
Dies gilt nur für Matrizen die in Dreiecksform starten, nicht wenn diese durch Gauß-Umformung hergestellt wurde.

Eigenwerte und Vektoren von $A$ und $A^{-1}$

Wenn $A$ eine inverse Matrix $A^{-1}$ besitzt und $\lambda$ Eigenwert von $A$ ist, dann ist $\frac{1}{\lambda }$ Eigenwert von $A^{-1}$