Spezielle Verteilungen

Binomialverteilung

Einführung

Urne mit $4$ weißen und $3$ schwarzen Kugeln. Gezogen wird $3$ Mal mit Zurücklegen. $X$ Sei die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln.

$$W_X=\{0;1;2;3\}$$ $$\begin{array}{ll}P(X=0)& ={\left(\frac{3}{7}\right)}^3\\ P(X=1)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right){\left(\frac{3}{7}\right)}^2\ast \frac{4}{7}\\ P(X=2)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\frac{3}{7}\ast {\left(\frac{4}{7}\right)}^2\\ P(X=3)& ={\left(\frac{4}{7}\right)}^3\end{array}$$

Dichtefunktion von $X$:

$$f(k)=P(X=K)=\underset{\text{Permutationen}}{\underbrace{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)}}\ast \underset{\text{Erfolg}}{\underbrace{{\left(\frac{4}{7}\right)}^k}}\ast \underset{\text{Misserfolg}}{\underbrace{{\left(1-\frac{4}{7}\right)}^{3-k}}}$$

Definition:
In einem Zufallsexperiment wird beobachtet ob ein Ereignis $A$ eintritt oder nicht.

$$X=\{\begin{array}{cll}0& \text{Falls A nicht eintritt}& \text{(Misserfolg)}\\ 1& \text{Falls A eintritt}& \text{(Erfolg)}\end{array}$$

Verteilung von $X$

$k$	$0$	$1$
$f(k)=P(X=k)$	$1-p$	$p$
Die Verteilung von $X$ heißt Bernoulli-Verteilung.
Schreibweise:
$X\sim Ber(p)$

Definition Binomialverteilung

Wir gehen von einem Bernoulli-verteilten Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ aus.

$$\begin{array}{cl}X& =\text{Erfolge bei n-maliger stochastisch unabha¨ngiger Wiederholung}\\ W_X& =\{0;1;2;\dots ;n\}\end{array}$$ $$[X=X_1+X_2+\cdots +X_n{X}_i\sim Ber(p)]$$

Diese Verteilung heißt Binomialverteilung

$$X\sim Bin(n;p)$$

Dichtefunktion

$$f(k)=P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\ast p^k\ast (1-p{)}^{n-k}k\in \{0;1;\dots ;n\}$$

Verteilungsfunktion

$$F(k)=P(X\le k)=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\ast p^i\ast (1-p{)}^{n-i}$$

Spezialfall

Für $n=1$ ist die Binomialverteilung gleich der Bernoulli-verteilung

$$Bin(1,p)=Ber(p)$$

Beispiel

Tierarzt

Ein Tierarzt behandelt mit einem Medikament dass in $80\%$ der Fälle zu einer Heilung führt.

$$\begin{array}{cl}X& =\text{sei die Anzahl geheilter Tiere bei 10 Behandlungen}\end{array}$$ $$\begin{array}{cl}P(X=6)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)\ast {\left(\frac{8}{10}\right)}^6\ast {\left(\frac{2}{10}\right)}^4\approx 0.0881\\ P(X\ge 7)& =P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)\approx 0.8791\end{array}$$

Urne

$3$ Schwarze und $5$ Weiße Kugeln, $3$ Ziehungen mit Zurücklegen.
$X$ ist die Anzahl weißer Kugeln
$X\sim Bin(3;\frac{5}{8})$

$$\begin{array}{cl}P(X=2)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\ast {\left(\frac{5}{8}\right)}^2\ast {\left(\frac{3}{8}\right)}^1\approx 0.4395\\ P(X\le 2)& =P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=1-P(X=3)\approx 0.756\end{array}$$

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Satz Sei $X\sim Bin(n;p)$ Dann gilt:

1. $E(X)=n\ast p$
2. $Var(X)=n\ast p\ast (1-p)$
3. $\sigma =\sqrt{Var(x)}=\sqrt{n\ast p\ast (1-p)}$

Beweis:
Sei $[X=X_1+X_2+\cdots +X_n{X}_i\sim Ber(p)]$
$E(X_i)=0\ast (1-p)+1\ast p=p$
$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n))=p+p+\cdots +p=n\ast p$

Beispiel

Ein homogener Würfel wird $100$ mal geworfen. $X$ ist die Anzahl der Würfe mit gerade Augenzahl.

$$\begin{array}{lc}X& \sim Bin(100;\frac{1}{2})\\ & \\ E(X)& =100\ast \frac{1}{2}=50\\ Var(X)& =100\ast \frac{1}{2}\ast (1-\frac{1}{2})=25\\ \sigma & =\sqrt{25}=5\end{array}$$

Poissonverteilung

Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen mit Wertebereich ${\mathbb{N}}_0$ und Dichtefunktion $f$ mit

$$f(k)=P(X=k)=\frac{{\mu }^k}{k!}{e}^{-\mu }$$

heißt Poissonverteilung mit Parameter $\mu >0$. Wir schreiben $X\sim \text{Pois}(\mu )$.

Bemerkung

Für die Exponentialfunktion gilt

$$e^x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}$$

Daher gilt

$$\sum _{k=0}^{\infty }f(k)=e^{-\mu }\ast \underset{=e^{\mu }}{\underbrace{\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\mu }^k}{k!}}}=1$$

Die Verteilungsfunktion

$$F(x)=P(X\le x)=e^{-\mu }\ast \sum _{k\le x}\frac{{\mu }^k}{k!}$$

Satz:
Sei $X\sim \text{Pois}(\mu )$
Dann gilt:

1. $E(X)=\mu$
2. $Var(X)=\mu$
3. $\sigma =\sqrt{\mu }$

Beim Radioaktiven Zerfall sein die Zufallsvariable $X=\text{Anzahl der Atomkerne die in einer Sekunde zerfallen}$
$X\sim \text{Pois}(\mu )$
$\to \mu \text{ gibt an wie viele Atomkerne durchschnittlich pro Sekunde zerfallen.}$ Bei einem speziellen Präparat zerfallen im Durchschnitt $120$ Kerne pro Minute.

ges.: $P(X\ge 2)X\sim \text{Pois}(2)$

$$\begin{array}{cl}P(X=k)& =e^{-2}\ast \frac{2^k}{k!}\\ P(X\ge 2)& =\sum _{k=2}^{\infty }{e}^{-2}\ast \frac{2^k}{k!}\\ & =1-(P(X=0)+P(X=1))\\ & =1-P(X=0)-P(X=1)\\ & =0.594\end{array}$$