Zufallsvariablen

Zufallsvariablen und Verteilungsfunktionen

Definition Zufallsvariable

Sei $(\Omega ;\mathcal{P}(\Omega );P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Unter einer Zufallsvariablen (ZV) $X$ verstehen wir eine Funktion $X:\Omega \mapsto \mathbb{R}$

Typische Ereignisse:
$\left[X\le k\right]:=\left\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\le k\right\}$
$\left[X=k\right]:=\left\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )=k\right\}$

Wir unterscheiden zwischen einer Diskreten und einer steigen Zufallsvariablen.

• Stetig ist sie dann, wenn sie jeden Wert in einem beliebigen Wert annehmen kann.

Beispiel (Zweimaliges Würfeln)

$\Omega =\left\{\omega =\left(w_1,w_2\right)\mid w_i\in \left\{1;\dots ;6\right\}\right\}$
$X=\text{Augensumme}$
$X:\Omega \mapsto \mathbb{R}$
$A=[X=10]=\left\{(4;6);(5;5);(6;4)\right\}$
$P(X=10)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

Definition Verteilungsfunktion

Sei $(\Omega ;\mathcal{P}(\Omega );P)$ ein WR.
Eine Funktion
$F:\mathbb{R}\to [0;1]$
$x\mapsto P(X\le x)$
heißt Verteilungsfunktion der ZV $X$

Die Verteilungsfunktion $F(x)$ einer ZV $X$ ist die WKeit dafür, dass die ZV $X$ einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl ist.

$$\boxed{F(x)=P(X\le x)}$$

Eine ZV $X$ wird dabei durch ihre Verteilungsfunktion $F(x)$ vollständig beschrieben.

Eigenschaften Verteilungsfunktion

1. $F(x)$ ist eine monoton wachsende Funktion mit $0\le F(x)\le 1$
2. ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$ (Unmögliches Ereignis)
3. ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$ (Sicheres Ereignis)
4. Die WKeit $P(a<X\le b)$ dafür, dass die ZV $X$ einen Wert zwischen $a$ (ausschließlich) und $b$ (einschließlich) annimmt, lässt sich mit Hilfe der Verteilungsfunktion $F(x)$ wie folgt berechnen:
   $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$

Typischer Verlauf einer stetigen Verteilungsfunktion:

und einer diskreten VF

Diskrete Zufallsvariablen

Definition Diskrete ZV

Eine ZV heißt diskret, wenn sie endlich viele oder höchstens zählbar unendlich viele reelle Werte annehmen kann.

Verteilungstabelle

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$\dots$
$P(X=x_i)$	$P_1$	$P_2$	$P_3$	$P_4$	$\dots$
Die diskrete Funktion

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{P}_i& x=x_i\\ 0& \text{sonst}\end{array}$$

heißt Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) der Verteilung. Sie ist auf $1$ normiert, d.h.

$$\sum _{i=1}^{\infty }f(x_i)=1$$

Die zugehörige Verteilungsfunktion der ZVn ist:

$$F(x)=P(X\le x)=\sum _{x_i\le x}f(x_i)$$

Unterschied Dichte- und Verteilungsfunktion

Die Dichtefunktion $f(x)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Ereignisses.
Mit $F(x)$ ist die Verteilungsfunktion gemeint, sie ist monoton und beschreibt die WS einen Wert $a\le x$ zu erhalten

Beispiel

Wurf eines Würfels

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f(x_i)=P(X=x_i)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

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Zweimaliger Münzwurf

$X=\text{Anzahl Kopf}$
$X:\Omega =\left\{(z;z);(z;k);(k;z);(z;z)\right\}$

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$f(x_i)=P(X=x_i)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Kennwerte einer diskreten Zufallsvariablen

Begriffsdefinitionen

Gegeben: Diskrete ZV $X$ mit Dichtefunktion $f$

Erwartungswert

$E(X)=\mu$
$E(X)=\sum _i{x}_i\ast f(x_i)=\sum _i{x}_i\ast P(X=x_i)$

Varianz

$Var(X)={\sigma }^2$
$Var(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2\ast f(x_i)$

Standardabweichung

$\sigma =\sqrt{Var(X)}$
Ist ein gutes Streumaß, da die Einheit und Dimensionen mit denen des Erwartungswerts übereinstimmen.

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Beispiel

Urne mit 3 Weißen und 2 Schwarzen Kugeln, es wird 3 mal mit Zurücklegen gezogen.
$X=\text{Anzahl schwarzer Kugeln}$

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x_i)$	$(\frac{3}{5}{)}^3=\frac{27}{125}$	$3\ast \frac{2}{5}\ast (\frac{3}{5}{)}^2=\frac{54}{125}$	$3\ast \frac{3}{5}\ast (\frac{2}{5}{)}^2=\frac{36}{125}$	$(\frac{2}{5}{)}^3=\frac{8}{125}$

$E(X)=0\ast \frac{27}{125}+1\ast \frac{54}{125}+\cdots =1.2$

$Var(X)=\cdots =0.72$

$\sigma =\sqrt{Var(X)}\approx 0.85$