Differentialrechnung

Ableitung

Die Änderungsrate in einem Punkt des Funktionsgraphen ist die sog. Steigung.
Eine Funktion die die Steigung einer anderen Funktion $f(x)$ in jedem Punkt als Funktionswert besitzt heißt Ableitung von $f(x)$ oder $f^{\prime }(x)$

Die durchschnittliche Steigung $m$ zwischen zwei Punkten $(x_1|f(x_1))$ und $(x_2|f(x_2))$ kann berechnet werden.

$$m=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$$

Die Änderungsrate in einem Punkt ist der Grenzwert der Steigung für ${\lim }_{x_1\to x_2}(m)$
Verallgemeinerung dieser Idee liefert die allgemeine Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)$ die in jedem
Punkt die Steigung berechnet.

Im Allgemeinen sind nur stetige Funktionen Differenzierbar

Ableitungsregeln

Beim Ableiten bestimmter Funktionstypen sind einige allgemeine Regeln und Muster bekannt.

Potenzregel

$$f(x)=x^n\to f^{\prime }(x)=n\ast x^{n-1}$$

Summenregel

$$f(x)=g(x)+h(x)\to f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)$$

Faktorregel

$$f(x)=c\ast x^n\to f^{\prime }(x)=c\ast n\ast x^{n-1}c\in \mathbb{R}$$

Produktregel

$$f(x)=u(x)\ast v(x)\to f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\ast v(x)+u(x)\ast v^{\prime }(x)$$

Quotientenregel

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\to f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\ast v(x)-u(x)\ast v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$$

Kettenregel

$$f(x)=u\circ v=u(v(x))\to f^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)\ast u^{\prime }(v(x))$$

Trigonometrische Funktionen

$$\begin{array}{lcl}f(x)=\sin (x)& \to & f^{\prime }(x)=\cos (x)\\ f(x)=\cos (x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)& \to & f^{\prime }(x)=-1\ast \sin (x)\\ f(x)=\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}& \to & f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}\end{array}$$

Exponentialfunktionen

$$f(x)=b^x\to f^{\prime }(x)=b^x\ast \ln (b)$$

Logarithmusfunktionen

$$f(x)={\log }_b(x)\to f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ast \ln (b)}$$