Funktionen

Begriffe

Eine Funktion ist eine Zuordnung aller Zahlen aus der Definitionsmenge $D$ zu genau einer Zahl aus der Wertemenge $W$.
Def- und Wertemenge lassen sich als Intervalle schreiben, wie $D_f=[0;\infty )$

Darstellung

Funktionen können explizit oder implizit dargestellt werden.
Ersteres ist eine Vorschrift die beschreibt, wie aus den Eingabewerten der Ausgabewert berechnet werden kann.
Man schreibt
$f(x)$
Beispiel:

$$f(x)=2x+1$$

Bei Impliziten Funktionen wird auf eine direkte Zuordnung von Ein- und Ausgabewerten verzichtet. Es wird eine Bedingung beschrieben, die von verschiedenen Kombinationen aus Koordinaten erfüllt sein kann.
$F(x,y)=0$
Beispiel:
$F(x,y)=x^2+y^2-1=0$
Nicht alle Funktionen können in beiden Formen dargestellt werden. Diese implizite Funktion beschreibt den Einheitskreis. Da sich mehrere Punkte des Graphen übereinander befinden kann die Funktion nicht explizit beschrieben werden.

Grenzwert

Der Grenzwert einer Zahl ist die Zahl, der die Funktionswerte beliebig nahe kommen, wenn $x$ sich in eine gewisse Richtung verändert.
Eine Funktion hat an der Stelle $x_0$ den Grenzwert $g$ wenn gilt:
${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{y\to x_0}f(y)=g$
mit $x>x_0$ und $y<x_0$.

Schreibweise

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(f(x))=g\underset{n\to 0}{\lim }(2n+1)=1$$

Stetig

Eine Funktion ist dann stetig, wenn der Grenzwert in jedem Punkt der Definitionsmenge mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Lineare Funktionen

Sind Funktionen der Form $f(x)=mx+b$
Die Steigung $m$ ist hierbei konstant, wodurch ihr Schaubild stehts eine gerade Linie darstellt.

Quadratische Funktionen

Entsprechen der allgemeinen Form $f(x)=a{x}^2+bx+c$
Der Graph folgt einer Parabel.
Häufig müssen die Nullstellen der Funktion berechnet werden, hier hilft die Mitternachtsformel

Potenzfunktionen

Funktionen der Form $f(x)=x^n$
Die Form wird als Parabel $n$-ten Grades bezeichnet. (Ausnahme $n=1$)

Ganzrationale Funktionen

Auch Polynomfunktionen genannt bestehen aus mehreren Potenzfunktionen die mit unterschiedlichen Faktoren addiert werden.
$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$
$n=$ Grad der Funktion
$a_0=$ Abschlussglied

Symmetrie

Achsensymmetrie zur $Y$-Achse

Ist gegeben wenn für jeden Punkt auf einer Funktion $f$ gilt:
$f(x)=f(-x)$

Punktsymmetrie

Die Funktion ist symmetrisch in einem Punkt $P(x_0|y_0)$ wenn folgende Bedingung stets erfüllt ist:

$$f(x_0-h)-y_0=y_0-f(x_0+h)$$

Gebrochenrationale Funktionen

Die gebrochenrationale Funktion $f(x)$ lässt sich als Quotient einer Zählerfunktion $Z(x)$ und einer Nennerfunktion $N(x)$ definieren.

1. Ungerade Hochzahlen
   Alle Hyperbeln verlaufen durch $(1|1)$ und $(-1|-1)$ und befinden sich im $3.$ und $1.$ Quadranten.
2. Gerade Hochzahlen
   Laufen alle durch $(1|1)$ und $(-1|1)$
   Definiert über $\mathbb{R}$ mit Ausnahme aller Nullstellen der Nennerfunktion

Verhalten um Definitionslücken

1. $f(x)=\frac{1}{x+2}$ Polstelle bei $x=-2$ mit VZW
2. $f(x)=\frac{1}{(x+2{)}^2}$ Polstelle bei $x=-2$ ohne VZW
3. $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$

Hebbare Definitionslücken

In Beispiel 3. mit $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ ist $x=1$ eine hebbare Definitionslücke. Da der Zähler aus dem Term rausgekürzt werden kann, ohne den Rest der Funktion zu beeinflussen.
Wenn man dies tut erhält man $F(x)=x+1$
Diese neue Funktion ist die stetige Fortsetzung von $f(x)$ da die Definitionslücke nicht mehr existiert und die Funktionen sonst identisch sind.
$x_0$ ist genau dann eine hebbare Lücke, wenn $Z(x_0)=N(x_0)=0$ gilt.
Falls sich die Vielfachheit der Nullstelle in $Z$ und $N$ unterscheidet, ist sie nicht hebbar.

Verhalten um Unendlich $\infty$

Wenn der Funktionswert einer Zahl $g$ entgegenstrebt, so heißt die Funktion konvergent.
Gibt es keinen Grenzwert, so spricht man von Divergenz.

Betrachtet wird $f(x)=\frac{Z(x_0)}{N(x_0)}$ Wobei $Z$ und $N$ Polynome vom Grad $n$ bzw. $m$ sind.
Ansatz über Ausklammern der höchsten Potenz

1. Nenner Potenz ist größer
   Grenzwert $y=0$
2. Potenzen gleich groß
   Horizontale Asymptote bei $y=\frac{k_{n-max}}{k_{m-max}}$ dem Quotient der Koeffizienten der größten Potenz.
3. Zähler Potenz größer
   Verhalten grob wie $f(x)=a\ast x^{n-m}$
   Schiefe Asymptote
   Näherungsfunktion lässt sich durch Polynomdivision berechnen.

Beispiel zu 3.

$$f(x)=\frac{x^2+1.5x}{2x-1}$$

Man rechnet bis zum Schluss, ein eventueller Rest wird wie in der Klammer gezeigt geschrieben. Durch Grenzwertsätze lässt sich erkennen dass der Einfluss auf den Graph minimal ist und für $x=\pm \infty$ vernachlässigt werden kann.

Der Ganzrationale Teil des Ergebnisses ist also der Term der Näherungsfunktion.

Betragsfunktion

Eine Funktion heißt Betragsfunktion wenn in beliebiger Weise ein $x$ zwischen Betragsstrichen vorkommt.

1. $f(x)=|x|$ mit $D=\mathbb{R}$ und $W={\mathbb{R}}^{+}$
2. $g(x)=|x-2|+3=\{\begin{array}{rll}{x}^2-4& \text{ bei }& x\ge 2\\ -x+5& \text{ bei }& x<2\end{array}$
3. $h(x)=|x^2-4|=\{\begin{array}{rll}{x}^2-4& \text{ bei }& x<-2\cup 2<x\\ -x^2+4& \text{ bei }& -2\le x\le 2\end{array}$

Umkehrfunktion

$f(x)=\frac{1}{2}x+2$ Stellt die Kosten pro Stückzahl dar, die Umkehrung ist diejenige Zuordnung, die aus der Stückzahl jeweils die entsprechenden Kosten liefert.
Hier wäre es $U(x)$ mit $U(x)=2x-4$
Die Umkehrfunktion entspricht einer Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden (Graph von $y=x$)
Rechnerisch erhält man sie durch Auflösen nach $x$, zur Einheitlichkeit wird dann jedoch $x$ und $y$ vertauscht um die Umkehrfunktion $U(x)$ zu bekommen.
Eine Funktion $f$ heißt dann umkehrbar, wenn ihre Umkehrung eine gültige Funktion ist. Es können also nur Funktionen umkehrbar sein, bei denen jeder Funktionswert einmalig ist.

Beispiel

$$\begin{array}{lc}f(x)=2(x-1{)}^2+3& D_f=[1;\infty )W_f=[3;\infty )\\ & \\ x=2{\left(\overline{f}(x)-1\right)}^2+3& \\ & \\ \dots & \\ & \\ \overline{f}(x)=\sqrt{\frac{x-3}{2}}+1& D_{\overline{f}}=W_f{W}_{\overline{f}}=D_f\end{array}$$

Eventuell müssen Definitions- und Wertemenge in Ausnahmefällen weiter eingeschränkt werden.

Trigonometrische Funktionen

Sin und Cos

Der Graph ist periodisch mit einer Periodenlänge von $P=2\pi$

$$D=\mathbb{R}W=[-1;1]$$

Nullstellen bei $k\ast \pi$ für Sinus und $\frac{\pi }{2}+k\ast \pi$ für Cosinus

Tangens

Periodisch mit Periodenlänge von $P=\pi$
Punktsymmetrisch zu $(0|0)$ und jeder anderen Nullstelle

Wichtige Werte

$\alpha$	$0\text{textdegree}$	$30\text{textdegree}$	$45\text{textdegree}$	$60\text{textdegree}$	$90\text{textdegree}$
Sin	$0$	$0.5$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
Cos	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$0.5$	$0$
Tan	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\perp$

Arkusfunktionen

Sind die Umkehrfunktionen von Sin, Cos und Tan.
${\text{Sin}}^{-1}(x)$ im TR. Sie geben zu jedem Wert $A$ zwischen $-1$ und $1$ den kleinstmöglichen Winkel $\alpha$ sodass $sin(\alpha )=A$
Die Funktionen heißen jeweils Arkus-(Trig-funktion), also Arkussinus / Arkuscosinus / Arkustangens

Veränderte Sinusfunktionen

Die Sinuskurve lässt sich in parametrisierter Form schreiben

$$a\ast sin(b(x-c))+d$$

Dabei haben die Parameter die folgenden Effekte auf das Schaubild:

$$\begin{array}{lcl}a& =& \text{Streckfaktor Amplitude}\\ b& =& \text{Streckfaktor Periode}\\ c& =& \text{Verschiebung X-Richtung}\\ d& =& \text{Verschiebung Y-Richtung}\end{array}$$

Exponentialfunktionen

$$\begin{array}{l}f(x)=c\ast b^{x}D=\mathbb{R}W={\mathbb{R}}^{+}\\ \\ b>1\to \text{Wachstum}\\ b<1\to \text{Zerfall}\end{array}$$

$b^x$ und ${\left(\frac{1}{b}\right)}^x$ sind an der $y$-Achse zueinander symmetrisch
Jede Exponentialfunktion kann mit der Basis $e$ geschrieben werden.
Da $b=e^{\ln (b)}$ gilt ist $b^x=e^{\ln {(b)}^x}$
also

$$e^{x\ast \ln (b)}$$

Dabei sind $e$ und $\ln (b)$ Konstanten

Logarithmusfunktionen

Sind Asymptotisch zur $y$-Achse
Ähnlich wie die Exponentialfunktion lässt sich auch jeder Logarithmus durch $\ln$ ausdrücken.

$${\log }_b(a)=\frac{\ln (a)}{\ln (b)}$$

${\log }_b(x)$ ist an der $x$-Achse symmetrisch zu ${\log }_{\frac{1}{b}}(x)$