Funktionen von Mehreren Variablen

Funktionen können von mehreren Variablen abhängig sein. Beispielsweise die Elektrische Spannung oder die Parabel eines Wurfs sind Ergebnis von 2 Veränderlichen

$$U(R;I)=R\ast IW(v_0,\theta )=\frac{{v_0}^2\cdot \sin (2\theta )}{g}$$

Die Oberfläche einer Halbkugel ist durch die Folgende Funktion beschrieben
$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}z\ge 0R=\text{konst.}>0$
Der Graph dieser Funktion ist dreidimensional.

Höhenlinien

Um den Verlauf einer solchen Funktion besser erkennbar zu machen werden Höhenlinien eingezeichnet. Bei alle Punkte mit einem bestimmten Funktionswert werden zu einer Höhenlinie zusammengefasst.
Die Funktion $f(x,y)=x^2+y^2$ ist eine um die $z-$Achse rotierte Parabel.

Die Punkte mit einer Höhe von 1 oder 4 liegen Kreisförmig um den Ursprung. So kann der Verlauf der Fläche des Graphen besser gezeigt werden.

Grenzwerte

Auch Funktionen von mehreren Variablen können Grenzwerte besitzen. Diese müssen bekanntlich immer von allen Richtungen erreicht werden. Für Funktionen von mehreren Veränderlichen muss dieses Richtungskonzept erweitert werden.
Der Grenzwert wird entlang einer Gerade $y=mx$ bestimmt um nur von einer Variablen abhängig zu sein. Der Faktor $m$ ist dabei jede beliebige Zahl $\ne 0$

Beispiel:
Existiert in $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ ein Grenzwert bei $f(0,0)$?

$$f(x,mx)=\frac{x^2-m^2{x}^2}{x^2+m^2{x}^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}$$

Dieser Term ist unabhängig von $x$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}$$

Der Wert wird von der Annäherungsrichtung $m$ beeinflusst. Somit existiert kein eindeutiger Grenzwert.

Stetigkeit

Auch die Stetigkeit einer Funktion wird mit steigender Anzahl an Eingabewerten komplexer.

Beispiel

$$f(x,y)=\{\begin{array}{cl}\frac{4xy}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

Entlang der $x$-Achse $y=0$
für $x\ne 0$ ist $f(x,0)=\frac{0}{x^2}=0$
Auf der Hauptdiagonalen $y=x$ (mit $y=x\ne 0$ ) hat die Funktion den Wert $2$
Somit ist auch dieser Wert Abhängig von der Annäherungsrichtung und die Funktion als ganzes nicht stetig.

Partielles Differenzieren

Die Ableitung bestimmt die Steigung einer Funktion in einem Punkt.
Am Schaubild wird ersichtlich, dass die Steigung einer Mehrdimensionalen Funktion ebenfalls von der Richtung der Betrachtung abhängt. Man bestimmt sog. partielle Ableitungen für jeden Eingabeparameter.
Dabei wird ein Parameter als variabel angesehen, während alle anderen als Konstanten behandelt werden.

$$f(x,y)=-4x^3{y}^2+3x{y}^4-3x+2y+5$$

Die Partiellen Ableitungen nach $x$ und $y$ werden als $f_x$ und $f_y$ beschriftet.

$$\begin{array}{cl}{f}_x(x,y)& =-12x^2{y}^2+3y^4-3\\ f_y(x,y)& =-8x^{3}y+12x{y}^3+2\end{array}$$

Satz von Schwarz

TODO

Diese Einträge sind noch nicht vollständig. Die originalen Aufschriebe sind in OneNote DH_S3/Mathematik

Bei mehrmaligem Partiellen Ableiten nach verschiedenen Variablen ist die Reihenfolge nicht relevant.

$$f_{xy}(x,y,z)=f_{yx}(x,y,z)$$

Implizite Ableitungen

$$y\prime =-\frac{F_x}{F_y}$$

Ellipse:

$$\begin{array}{rl}F(x,y)& =\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0\\ F_x(x,y)& =8x\\ F_y(x,y)& =18y\end{array}$$ $$y\prime =-\frac{8x}{18y}$$

Extremstellen in Dreidimensionalen Funktionen

Extremwertaufgaben

Integrale von mehreren Variablen

Polarintegrale