Monotonie bei Folgen

Nachweis von Monotonie / Beschränktheit

Ansatz über Differenz benachbarter Werte

$a_n=\frac{4n}{n+3}$
Behauptung: $a_n$ ist SMS (Streng-Monoton-Steigend)

Beweis dass $a_{n+1}-a_n>0$

$\frac{4(n+1)}{(n+1)+3}-\frac{4n}{n+3}=\frac{4(n+1)\cdot (n+3)}{(n+4)\cdot (n+3)}-\frac{4n\cdot (n+4)}{(n+3)\cdot (n+4)}=\frac{12}{(n+3)(n+4)}>0$

Ansatz Geschicktes Abschätzen

$a_n=\frac{2n+1}{n+1}$
Behauptung: $a_n$ ist durch $1$ und $2$ beschränkt

$$\begin{array}{c}{a}_n=\frac{2n+1}{n+1}\ge \frac{2n+1}{2n+1}=1\\ \to s=1\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{a}_n=\frac{2n+1}{n+1}\le \frac{2n+2}{n+1}=\frac{2(n+1)}{n+1}=2\\ \to S=2\end{array}$$

Monotonie ab bestimmtem Wert

$a_n=12n-n^2$

Behauptung: SMF ab $a_6$ also $a_{n+1}\ge a_n$ für $n>5$

\begin{eqnarray} 12(n+1)-(n+1)^2 > 12n-n^2 \\ 12n+12-(n^2+2n+1) > 12n-n^2 \\ 12n+12-n^2-2n-1>12n-n^2 \\ \ldots \\ n > 5.5 \\ \rightarrow n \geq 6 \\ \end{eqnarray}

Monotonie bei rekursiven Folgen

$a_0=-\frac{1}{2};a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$
Beweis durch Induktion
$\sqrt{a_{n+1}+1}>\sqrt{a_n+1}$