Begriff

Definition

Eine Zuordnung mit der Definitionsmenge $D = N$ heißt Folge

Schreibweise

$(a_{n}); a_{5} : 5 -tes Folgeglied$

z.B. Folge $(a_{n}) mit (a_{n}) = 2 n + 3 \to a_{5} = 2 \cdot 5 + 3 = 13$

Hintergrund “Mittelwerte”

Arithmetisches Mittel

Klassischer Durchschnitt
Quotient der Summe aller Elemente und der Menge an Elementen
Klausurnoten

Geometrisches Mittel:

$n -te$ Wurzel des Produkts aller Werte $n = Menge an Werten$
Beispiel Zinseszins aus verschiedenen Zinssätzen als konstanten Zinssatz angeben
$2%$ , $7%$ und $5%$ ist gleich $4, 6464%$ für $3$ Jahre da $3 1.02 \cdot 1.07 \cdot 1.05 \approx 1.046464$
Es gilt $\frac{GeoMittel ( X _{i} )}{GeoMittel ( Y _{i} )} = GeoMittel (\frac{X _{i}}{Y _{i}})$

Explizite Darstellung

Eine Folge in der jeder Wert allein, ohne Kenntnis über andere Werte berechnet werden kann ist “explizit” dargestellt.
Die Folge $(a_{n})$ mit $(a_{n}) = a + d n$ ist einer arithmetische Folge mit dem Anfangswert $a$ und der Differenz $d$ .
Jeder Wert $(a_{n})$ ist die arithmetische Mitte seiner Nachbarn $(a_{n + 1})$ und $(a_{n - 1})$ .

$(b_{n})$ mit $(b_{n}) = b \cdot q^{n}$ ist eine geometrische Folge mit dem Anfangswert $b$ und dem Quotient $q$ .
Hier ist jeder Wert das geometrische Mittel seiner Nachbarn.

Beispiel Quadratpflanze

$U_{n} = 4 + 2 n$
$A_{n} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{3 ^{i}} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n}$

Schaubild einer Folge

$a_{n} mit a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$

Gesuchte Folge

$a_{n}$ mit $0; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}$

Rekursive Darstellung

Eine Folge ist rekursiv, wenn es mindestens einen Startwert gibt, und $a_{n + 1}$ durch z.B. $a_{n}$ berechnet wird.
Bsp. Sparschwein: Jeden Monat die Hälfte des Inhalts dazu und $2$ Euro entnehmen bei $10€$ Startwert

$b_{0} = 10 b_{n} = b_{n - 1} \cdot 1.5 - 2$
$10; 13; 17.5; 24; 25 \dots$

Eigenschaften von Folgen

(Streng-) Monotonie wie bei Funktionen
Beschränktheit nach oben/unten wenn es ein $S / s$ gibt, dass nie über-/unterschritten wird
“Beschränkt” nur bei Existenz beider Schranken

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