Vektoren und Vektorräume

Vektoren

Ein m-Tupel $\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$ heißt Vektor.
Die $a_i$ heißen Koordinaten des Vektors, ${\mathbb{R}}^n$ ist der Vektorraum.

Rechenoperationen

• Addition $\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)$
• Skalare Multiplikation $k\ast \vec{a}=\left(\begin{array}{c}k\ast a_1\\ k\ast a_2\\ k\ast a_3\end{array}\right)$
• Skalarprodukt $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
• Hadamard-Produkt $\vec{a}\odot \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\cdot b_1\\ a_2\cdot b_2\\ a_3\cdot b_3\end{array}\right)$

Linearkombinationen und Basis

Gegeben sind die Vektoren $a_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)a_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)b=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)$
$b$ lässt sich als Linearkombination von $a_1$ und $a_2$ ausdrücken, $b=2\ast a_1+1.5\ast a_2$

Definition Lineare (un-)abhängigkeit

Wenn $k_1;k_2;k_3;\dots ;k_m=0$ die einzige Möglichkeit ist, die Gleichung $k_1\ast \overrightarrow{a_1}+k_2\ast \overrightarrow{a_2}+\cdots =\vec{O}$ zu erfüllen, so sind die Vektoren $a_1;a_2;\dots$ linear unabhängig.
Sonst nennt man sie linear abhängig.
Durch Umstellen der Gleichung ist ersichtlich, dass kein Vektor einer linear unabhängigen Menge durch eine beliebige Kombination der anderen Vektoren ausgedrückt werden kann.

Definition Maximale Menge an Vektoren

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren heißt maximal, wenn kein weiterer Vektor hinzugefügt werden kann, ohne dass die Lineare Unabhängigkeit verloren geht.

Die Basis eines Vektorraumes entspricht einem “Minimalen Erzeugenden-System”

minimal	Basis besteht aus so wenig Vektoren wie möglich
Erzeugendensystem	Menge an Vektoren die durch Linearkombination jeden beliebigen Vektor erzeugen können.
Dimension	Maximale Anzahl von linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraums $V$ Für jeden $m$-dimensionalen Vektorraum ist die Menge von $m$ linear unabhängigen Vektoren eine Basis. Umgekehrt hat jede Basis genau $m$ Vektoren