Bedingte Wahrscheinlichtkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Experiment: Wurf mit 2 Würfeln

$$\begin{array}{ll}|\Omega |& =36\\ A& =\text{Augensumme 8}\\ B& =\text{Beide Wu¨rfel sind gerade}\end{array}$$

Gesucht:
$P(B|A)=\text{WS dass beide Wu¨rfel gerade sind, wenn die Summe 8 betra¨gt}$

$A=\{(2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)\}$
$|A|=5$
Von diesen $5$ Elementarereignissen führen $3$ zum Ereignis $B:\{(2;6),(4;4),(6;2)\}$

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{3}{5}$

Pfadregel

Zur Bestimmung der WS eines komplexen Ereignis werden die WS entlang des Pfades multipliziert.

Vierfeldertafel

$$\begin{array}{cccc}& B& \overline{B}& \Sigma \\ A& P(A\cap B)& P(A\cap \overline{B})& P(A)\\ \overline{A}& P(\overline{A}\cap B)& P(\overline{A}\cap \overline{B})& P(\overline{A})\\ \Sigma & P(B)& P(\overline{B})& 1\end{array}$$

Definition:
Sei $(\Omega ;\mathcal{P}(\Omega );P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.
$P(A)\ne 0$
Dann heißt $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ die bedingte WS von $B$ gegeben $A$.

Bemerkung

$P(A|B)$ und $P(B|A)$ sind im Allgemeinen völlig verschieden.
Beispiel:
$A=\text{Regen}$
$B=\text{Bewo¨lkt}$
$P(B|A)=1P(A|B)<<1$

Beispiel

Irrelevant, nur während der VL

1. Rot: $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$
2. $U_1$ wenn Rot: $\frac{\frac{5}{24}}{\frac{1}{3}}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$

Satz

Seien $A_1,\dots ,A_n$ Ereignisse mit $P(A_1\cap \cdots \cap A_n)>0$
Dann gilt:
$P(A_1\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)\ast P(A_2|A_1)\ast P(A_3|A_1\cap A_2)\ast \cdots \ast P(A_n|A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_{n-1})$

Beispiel (Skat)

$A_i=\text{Spieler i erha¨lt ein Ass}$
$P(A_1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{28}{9}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{32}{10}\right)}$

$P(A_2|A_1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{9}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{22}{10}\right)}$

$P(A_3|A_1\cap A_2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{10}\right)}$

$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=5,56\%$

Totale Wahrscheinlichkeit

Formel von Bayes

Einführungsbeispiel

In einem Werk werden auf $4$ Maschinen Glühbirnen hergestellt.

Maschine	$M_1$	$M_2$	$M_3$	$M_4$
Anteil an Gesamtproduktion	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.40$
Ausschussanteil	$0.02$	$0.01$	$0.04$	$0.02$

Aus der Gesamtproduktion wird zufällig eine Glühbirne entnommen.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Glühbirne defekt?
2. Mit welcher WS kommt eine defekte Birne von $M_3$?

1. Defekt

$$\begin{array}{ll}{A}_i& =\text{Glu¨hbirne wurde auf Mi produziert}\\ B& =\text{Birne ist defekt}\end{array}$$

$P(B)=0.1\ast 0.02+0.2\ast 0.01+\cdots =0.024$

Allgemein

$$\begin{array}{ll}P(B)& ={\sum }_{i=1}^{4}P(A_i\cap B)\\ & ={\sum }_{i=1}^{4}P(A_i)\ast P(B\mid A_i)\end{array}$$

2. M3 wenn defekt

$$P(A_3\mid B)=0.5$$

Satz

Sei $(\Omega ;\mathcal{P}(\Omega );P)$ ein WR;
$B,A_1,A_2,\dots ,A_n$ Ereignisse die paarweise disjunkt sind

• Jedes Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit größer $0$
  (Siehe Satz 2.8 und 2.9 Skript)
  
  

Stochastische Unabhängigkeit

Aus der Gleichung für $P(B\mid A)$ von oben lässt sich ableiten:
$P(A\cap B)=P(A)\ast P(B\mid A)$
$A$ und $B$ heißen stochastisch unabhängig wenn sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen.
Es muss dazu gelten:
$P(A\cap B)=P(A)\ast P(B)$

Beispiel

Abschlussklasse, 15 W 10 M

12 W und 6 M bestehen die Prüfung

$A=\text{Pru¨fling ist W}$
$B=\text{Pru¨fling besteht Pru¨fung}$

Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängig?

$P(A)=\frac{15}{25}$
$P(B)=\frac{18}{25}$

$P(A\cap B)=\frac{12}{25}$

$\underset{0.432}{\underbrace{P(A)\ast P(B)}}\ne \underset{0.48}{\underbrace{P(A\cap B)}}$