Einführung

Wahrscheinlichkeitsraum

Ist die mathematische Beschreibung eines Experiments mit zufälligen Ausgang und umfasst exakt 3 Elemente

$$\begin{array}{ll}\Omega & \text{Grundraum}\\ \mathcal{P}& \text{Ereignisfeld}\\ (\Omega );P& \text{Wahrscheinlichkeitsmaß}\end{array}$$

Grundraum $\Omega$

Menge aller möglichen Ergebnisse $\omega$

Beispiel

Einmaliges Würfeln $\Omega =\{1;2;3;4;5;6\}$

Ereignisfeld $\mathcal{P}$

Menge aller beobachtbaren Ereignisse.
Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Grundraums
Also:

$$\begin{array}{lll}\text{Ereignisfeld}& =\mathcal{P}(\Omega )& =\text{Potenzmenge von }\Omega \\ & =\{A\mid A\subseteq \Omega \}& =\{\Phi ,\Omega ,\dots \}\end{array}$$

Wahrscheinlichkeitsmaß / Wahrscheinlichkeitsverteilung

Dies ist eine Funktion
$P:\mathcal{P}(\Omega )\to [0;1]$
$A\mapsto P(A)\in [0;1]$

$P(A)=$ Wahrscheinlichkeit dass das Ereignis $A$ eintritt

Definition

Eine Funktion $P:\mathcal{P}(\Omega )\to [0;1]$ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, falls:

• $P(\Omega )=1$
• $P(A\dot{\cup }B)=P(A)+P(B)$
  Falls A und B keine Schnittmenge haben
  Ein Tripel $(\Omega ;(P)(\Omega );P)$ heißt Wahrscheinlichkeitsraum (WR)

Beispiel

$$\begin{array}{ll}\Omega & =\{1;2;3;4;5;6\}\\ e_1& =\{1\}\subseteq \Omega \\ e_k& =\{k\}\\ P(\{k\})& =\frac{1}{6}\end{array}$$

Satz (Rechenregeln)

Sei $(\Omega ;\mathcal{P}(\Omega );P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum

1. $P(\varnothing )=0$
   Unmögliches Ereignis
2. $P(\overline{A})=1-P(A)$
   Gegenereignis
3. $A\subseteq B\to P(A)\le P(B)$
4. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
   Additionssatz

Beweis

1.Unmögliches Ereignis

$$\begin{array}{ll}\Omega & =\Omega \dot{\cup }\varnothing \\ P(\Omega )& =1\\ 1& =P(\Omega )+P(\varnothing )\\ P(\varnothing )& =0\end{array}$$

2-4:
Siehe [Skript](C:\Users\dh10mbo\OneDrive - Durr Group\Documents\Uni\Vorarbeit\statistikSkript.pdf) Seite 12

Laplace’scher Wahrscheinlichkeitsraum

$$\begin{array}{ll}A\subset \Omega & |A|=\text{Anzahl der Elemente die zu A geho¨ren}\end{array}$$

Ein WR mit $|\Omega |<\infty$ heißt endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Definition

Ein endlicher WR heißt Laplace’scher WR fall die Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. D.h.

$$\mathcal{P}(\{\omega \})=\frac{1}{|\omega |}$$

Beispiel Zweimaliges Würfeln

$w=(i;j)$, $i$ = Augenzahl erster Wurf; $j$ = Augenzahl zweiter Wurf

\begin{array}{cl} \Omega &= \{(i;j) : 1 \leq i; j \leq 6 \}$ \\ |\Omega| &= 6^2 = 36 \end{array} $$\begin{array}{ll}P& :\text{Gleichverteilung}\\ A& =\text{Augensumme}\ge 10\\ A& =\{(6,6);(6,5);(5,6);(6,4);(4,6);(5,5)\}\\ |A|& =6\\ P(A)& =\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\end{array}$$

Beispiel Geburtstagsproblem

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass von $n$ zufälligen Personen mindestens $2$ am selben Tag Geburtstag haben.

$$\mathcal{P}(A)=1-\frac{{\prod }_{i=1}^{i=n}(365-i+1)}{365^n}$$ $$P(A)=\{\begin{array}{ll}11,7\%& n=10\\ 50,7\%& n=23\\ 97,0\%& n=50\\ 99,994\%& n=80\end{array}$$

Einfache Urnenmodelle

Gegeben ist eine Urne mit exakt $n$ Elementen. Wir entnehmen der Urne $k$ Elemente zufällig und modellieren verschiedene Arten von Lösungsvorgängen.

Stichprobe mit Reihenfolge und Zurücklegen

Es gibt $k$ verschiedene Elemente (Würfel) die jeweils $n$ Varianten besitzen

$$\begin{array}{cl}{\Omega }_I& =\{w=(w_1,\dots ,w_k)\mid w_i\in \{1;\dots ;n\}\}\\ |{\Omega }_I|& =n^k\end{array}$$

Stichprobe mit Reihenfolge ohne Zurücklegen

$$\begin{array}{cl}{\Omega }_{II}& =\{w=(w_1,\dots ,w_k)\mid w_i\in \{1;\dots ;n\}\mid w_i\ne w_j\text{ fu¨r }i\ne j\}\\ \text{Stufe 1:}& n\text{ Mo¨glichkeiten}\\ \text{Stufe 2:}& n-1\text{ Mo¨glichkeiten}\\ \text{Stufe k:}& n-h+1\text{ Mo¨glichkeiten}\\ |{\Omega }_{II}|& =\frac{n!}{(n-k)!}\mid (\text{nPr})\end{array}$$

Beispiel Fußball-EM

Es stehen 8 Mannschaften im Viertelfinale, von denen 3 eine Medaillie gewinnen werden. Vergleicht man nun die 3 Medaillien mit der Anzahl der zu ziehenden Kugeln $(k)$ und die $8$ Mannschaften mit der Gesamtzahl der Kugeln $(n)$, erhält man folgende Möglichkeiten:

$$\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=8\ast 7\ast 6=336$$

Stichprobe ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen

$$\begin{array}{cl}{\Omega }_{III}& =\{w=(w_1,\dots ,w_k)\mid w_i\in \{1;\dots ;n\}\mid w_1<w_2<\cdots <w_k\}\\ |{\Omega }_{III}|& =\frac{n!}{(n-k)!\ast k!}=:\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\mid (\text{Binomialkoeffizient nCr})\end{array}$$

Beispiel Lotto

$n=49;k=6$

Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige

$$|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6}\right)=\frac{49!}{(49-6)!\ast 6!}=\mathrm{13.983.816}$$ $$\begin{array}{cl}A& =\text{6 Richtige}\\ |A|& =1\\ P(A)& =\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6}\right)}=\frac{1}{\mathrm{13.983.816}}\end{array}$$

Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Richtige

$A_i$ = genau $i$ Richtige $(i=4;5;6)$

$$\begin{array}{cl}P(A_4\dot{\cup }{A}_5\dot{\cup }{A}_6)& =P(A_4)+P(A_5)+P(A_6)\\ & \\ |A_4|& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{43}{2}\right)\\ |A_5|& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{43}{1}\right)\\ |A_6|& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{43}{0}\right)\\ & \\ P(A_4\dot{\cup }{A}_5\dot{\cup }{A}_6)& =\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{43}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{43}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{43}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6}\right)}\end{array}$$