Mehrdimensionale Verteilungen

Mehrdimensionale WS-Verteilungen

Einführungsbeispiel

Zweimaliges Würfeln

$$\Omega =\{(i,j):1\le j,j\le 6\}$$

Sei $X$ die Anzahl geworfener $1er$

$$X:\Omega \to \{0;1;2\}$$

Sei $Y$ die Anzahl geworfener $6er$

$$Y:\Omega \to \{0;1;2\}$$

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten $P(X=x)$, $P(Y=y)$ und $P(X=x;Y=y)$

$$\begin{array}{ccc}P(X=x;Y=y)& 012& P(X=x)\\ \begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}& \begin{array}{ccc}\frac{16}{36}& \frac{8}{36}& \frac{1}{36}\\ \frac{8}{36}& \frac{2}{36}& \frac{0}{36}\\ \frac{1}{36}& \frac{0}{36}& \frac{0}{36}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{25}{36}\\ \frac{10}{36}\\ \frac{1}{36}\end{array}\}\text{Randverteilung}\\ P(Y=y)& \begin{array}{ccc}\frac{25}{36}& \frac{10}{36}& \frac{1}{36}\end{array}& \end{array}$$

Definition:
Sei $(\Omega ;\mathcal{P}(\Omega );P)$ ein WR.
Seien $X_1,\dots ,X_n$ Zufallsvariablen
$X_i:\Omega \to \mathbb{R}$

Die Abbildung $X=(X_1,\dots ,X_n):\Omega \to {\mathbb{R}}^n$
$\omega \mapsto (x_1(\omega ),x_2(\omega ),\dots ,x_n(\omega ))$

heißt $n$-dimensionaler Zufallsvektor (Zufallsvariable) mit den Komponenten $X_1,X_2\dots ,X_n$

Die Funktion $F_x:{\mathbb{R}}^n\to [0;1]$
$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto P(X_1\le x_1,X_2\le x_2\dots X_n\le x_n)$ heißt Verteilungsfunktion des Zufallsvektors $X=(X_1,\dots X_n)$

Verteilungsfunktion Skizze

Eigenschaften der Verteilungsfunktion:

1. ${\lim }_{x\to -\infty }F(x;y)={\lim }_{y\to -\infty }F(x;y)=0$
2. ${\lim }_{\begin{array}{c}x\to \infty \\ y\to \infty \end{array}}F(x;y)=1$

Diskrete zweidimensionale Verteilung

Definition
Eine zweidimensionale Zufallsvariable $Z=(X;Y)$ heißt diskret, wenn beide Komponenten $X$ und $Y$ diskret sind.

Annahme:
$X$ und $Y$ nehmen die endlich vielen Werte $x_1,\dots ,x_n$ und $y_1,\dots ,y_n$ an.
$P_{ik}=P(X=x_1;Y=y_k)$

$$\begin{array}{ccc}X\setminus Y& y_1\dots y_n& \\ \begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_m\end{array}& \begin{array}{ccc}{p}_{11}& \dots & p_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{m1}& \dots & p_{mn}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{25}{36}\\ \frac{10}{36}\\ \frac{1}{36}\end{array}\}\text{Randverteilung }{f}_1(x)\\ & \underset{\text{Randverteilung }{f}_2(y)}{\underbrace{\begin{array}{ccc}\frac{25}{36}& \frac{10}{36}& \frac{1}{36}\end{array}}}& \end{array}$$

Dichtefunktion
$f(x;y)=\{\begin{array}{ll}{p}_{ik}& x=x_{i}y=y_k\\ 0& \text{sonst}\end{array}$
für $i=1,\dots ,m$ und $k=1,\dots ,n$
$f(x,y)\ge 0$ und normiert:

$$\sum _{i=1}^m\sum _{k=1}^{n}f(x_i,y_k)=1$$

Verteilungsfunktion

$$F(x,y)=\sum _{i=1}^x\sum _{k=1}^{y}f(x_i,y_k)$$

Randverteilungen

$$f_1(x)=\{\begin{array}{ll}{p}_i^{\ast }& x=\end{array}$$

Beispiel
Dreimaliger Wurf einer Münze
$Z=\text{Zahl}$
$W=\text{Wappen}$

$\Omega =\{ZZZ,ZZW,ZWZ,WZZ,WWZ,WZW,ZWW,WWW\}$
$Z=(X;Y)$ wobei
$X=\text{Anzahl ”Zahl” beim 1. Wurf}$
$Y=\text{Anzahl ”Zahl” beim 3 Wu¨rfen}$

$W_X=\{0;1\}$
$W_Y=\{0;1;2;3\}$

$$\begin{array}{lll}\boxed{x=0}& & \\ y=0:& WWW& P(X=0,Y=0)=\frac{1}{8}\\ y=1:& WZW,WWZ& P(X=0,Y=1)=\frac{2}{8}\\ y=2:& WZZ& P(X=0,Y=2)=\frac{1}{8}\\ y=3:& -/-& P(X=0,Y=3)=0\\ \boxed{x=1}& & \\ y=0:& -/-& P(X=0,Y=0)=0\\ y=1:& ZWW& P(X=0,Y=1)=\frac{1}{8}\\ y=2:& ZZW,ZWZ& P(X=0,Y=2)=\frac{2}{8}\\ y=3:& ZZZ& P(X=0,Y=3)=\frac{1}{8}\end{array}$$ $$\begin{array}{ccc}X\setminus Y& 0123& \\ \begin{array}{c}0\\ 1\end{array}& \begin{array}{cccc}\frac{1}{8}& \frac{2}{8}& \frac{1}{8}& 0\\ 0& \frac{1}{8}& \frac{2}{8}& \frac{1}{8}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\}{f}_1(x)\\ & \underset{f_2(y)}{\underbrace{\begin{array}{cccc}\frac{1}{8}& \frac{3}{8}& \frac{3}{8}& \frac{1}{8}\end{array}}}& \end{array}$$

Stetige zweidimensionale Verteilungen

Eine Zweidimensionale Zufallsvariable $Z=(X;Y)$ heißt stetig, falls die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ ebenfalls stetig sind.

Verteilungsfunktion

$$F(X;Y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dvdu$$

Der Integrand $f\ge 0$ ist dabei die Dichtefunktion der zweidimensionalen Verteilung. Es gilt also:

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dydx=1$$

Dichtefunktionen der Randverteilungen

$$f_1(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$$

f_2(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) , dx

> [!NOTE] Rechenfehler > > Es wird ''kreuzweise'' integriert, also nach $x$ bei $f(y)$ und umgekehrt. Beispiel Die Dichtefunktion einer zweidimensionalen Gleichverteilung lautet:

f(x,y) = \left{
\begin{array}{ll}
c & 0 \leq x \leq 2 \quad 0 \leq y \leq 5 \
0 & \text{sonst}
\end{array}
\right.

Gesucht sind 1. die Verteilungsfunktion 2. $P(X \leq 1; y \leq 3)$ Die Konstante $c$ kann aus der Normierungsbedingung hergeleitet werden

\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) , dy , dx = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{5} f(x,y) , dy , dx = 1

$\dots \to c = \frac{1}{10}$

F(x;y) = \int_{0}^{x}\int_{0}^{y} \frac{1}{10} , dv , du = \int_{0}^{x} \frac{y}{10} , du = \frac{xy}{10}

P(X \leq 1; Y \leq 3) = F(1;3) = \frac{1 \cdot 3}{10} = 0.3

$$Beispiel$$

f(x;y) = \frac{1}{12\pi}e^{-\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y-2}{2}\right)

> [!NOTE] Hinweis > > $$ > \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} = \sqrt{2\pi} > $$

f_1(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) , dy = \frac{1}{12\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y-2}{2}\right)^2\right)} , dy = \frac{1}{12\pi}\cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{3}\right)^2} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{y-2}{2}\right)^2}, dy

t = \frac{y-2}{2} = \frac{y}{2} - \frac{2}{2} \qquad \frac{dt}{dy} = \frac12 \Rightarrow dy = 2 \cdot dt

Untere Grenze $y \to -\infty \Rightarrow t \to -\infty$ Obere Grenze $y \to +\infty \Rightarrow t \to +\infty$

I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac12 \left( \frac{y-2}{2} \right)^2} , dy = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac12 t ^2} \cdot 2 , dt = 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} , dt = 2\cdot \sqrt{2\pi}

$$Somitgilt:$$

f_1(x) = \frac{1}{12\pi}e^{-\frac12 \left( \frac{x}{3} \right)^2} \cdot 2\sqrt{2\pi} = \text{Dichtefunktion der Zufallsvariable X}

f_2(y) = \frac{1}{12\pi}e^{-\frac12 \left( \frac{y-2}{2} \right)^2} \cdot 3\sqrt{2\pi}