Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen

Definition Stochastische Unabhängigkeit

Die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit den Verteilungsfunktionen $f_1(x)$ und $F_2(y)$ und der gemeinsamen zweidimensionalen Verteilungen $F(x;y)$ heißen stochastisch unabhängig, falls

$$F(x;y)=F_1(x)\cdot F_2(y)\forall x;y$$

Bemerkung

• $X$ und $Y$ sind stochastisch unabhängig $\iff \{X\le x\}\text{ und }\{Y\le y\}\text{ stochastisch unabha¨ngig sind}$
• $X,Y$ stochastisch unabhängig $\iff f(x,;y)=f_1(x)\cdot f_2(y)\forall x;y$

Beispiel Urne

3 Weiße Kugeln
2 Schwarze Kugeln

Experiment 1

Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen.

• $X$ sei die Farbe der ersten Kugel
• $Y$ die Farbe der zweiten Kugel
  Dabei
• Weiß $\widehat{=}0$
• Schwarz $\widehat{=}1$

$$\begin{array}{ccc}X\setminus Y& 01& \\ \begin{array}{c}0\\ 1\end{array}& \begin{array}{cc}\frac{3}{10}& \frac{3}{10}\\ \frac{3}{10}& \frac{1}{10}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{6}{10}\\ \frac{4}{10}\end{array}\}\text{Randverteilung }{f}_1(x)\\ & \underset{\text{Randverteilung }{f}_2(y)}{\underbrace{\begin{array}{cc}\frac{6}{10}& \frac{4}{10}\end{array}}}& \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ f_1(x)& \frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\begin{array}{ccc}y& 0& 1\\ f_2(y)& \frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{array}$$ $$f(0;0)\ne f_1(0)\cdot f_2(0)$$

$X$ und $Y$ sind stochastisch abhängig

Experiment 2

Zwei Kugeln nacheinander ziehen mit Zurücklegen

$$\begin{array}{ccc}X\setminus Y& 01& \\ \begin{array}{c}0\\ 1\end{array}& \begin{array}{cc}\frac{9}{25}& \frac{6}{25}\\ \frac{6}{25}& \frac{4}{25}\end{array}& \begin{array}{c}\frac{3}{5}\\ \frac{2}{5}\end{array}\}\text{Randverteilung }{f}_1(x)\\ & \underset{\text{Randverteilung }{f}_2(y)}{\underbrace{\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& \frac{2}{5}\end{array}}}& \end{array}$$

Die Wahrscheinlichkeit $F(x,y)$ ist für jeden Wert gleich dem Produkt $f_1(x)\cdot f_2(y)$

Die Werte sind somit stochastisch unabhängig.

Summe und Produkte von Zufallsvariablen

Satz:
Seien $X_1;\dots ;X_n,Z$ Zufallsvariablen mit $Z=X_1+\cdots +X_n$
Dann gilt:
$E(Z)=E(X_1+\cdots +X_n)=E(X_1)+\cdots +E(X_n)$

Bemerkung

$X$ und $Y$ sind Zufallsvariablen, dann ist auch $X\ast Y$ eine Zufallsvariable. $X\ast Y(\omega )=X(\omega )\ast Y(\omega )$
Allgemein gilt der Zusammenhang für die Erwartungswerte nicht

$$E(X\ast Y)\ne E(X)\ast E(Y)$$

Satz:
Seien $X_1;\dots ,X_n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen
$Z=X_1\ast \cdots \ast X_n$ dann gilt

$$E(Z)=E(X_1\ast \cdots \ast X_n)=E(X_1)\ast \cdots \ast E(X_n)$$

Bemerkung

Für die Varianz ${\sigma }^2$ einer Summe $Z=X+Y$ lässt sich die allgemeine Beziehung

$${\sigma }_z^2={\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+2{\sigma }_{xy}$$

Wobei ${\sigma }_x^2=Var(X)$ und ${\sigma }_y^2=Var(Y)$
Die Größe ${\sigma }_{xy}$ wird als Kovarianz der Zufallsvariablen $X$ und $Y$ bezeichnet und ist definiert durch
${\sigma }_{xy}=E(X\ast Y)-E(X)\ast E(Y)$
Sind $X$ und $Y$ stochastisch unabhängig, so gilt:

$$E(X\ast Y)=E(X)\ast E(Y)$$

und somit

$${\sigma }_{xy}=0$$

Satz:
Seien $X_1,\dots ,X_n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen und $Z=X_1+\cdots +X_n$ dann gilt:

$$Var(Z)=Var(X_1+\cdots +X_n)=Var(X_1)+\cdots +Var(X_n)$$

Zentraler Grenzwertsatz

Satz
Seien $X_1,X_2,\dots ,X_n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen die alle normalverteilt sind mit $E(X_i)={\mu }_i$ und $Var(X_i)={{\sigma }_i}^2$. Dann ist die Summe $Z=X_1+X_2+\cdots +X_n$ ebenfalls normalverteilt mit $E(Z)={\mu }_1+{\mu }_2+\cdots +{\mu }_n$ und $Var(Z)={{\sigma }_1}^2+{{\sigma }_2}^2+\cdots +{{\sigma }_n}^2$

Satz (Zentraler Grenzwertsatz)
Seien $X_1,\dots ,X_n$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen die alle der gleichen Verteilungsfunktion mit den Erwartungswerten $\mu$ und der Varianz ${\sigma }^2$ genügen.

$$Z_n=X_1+\cdots +X_n$$ $$U_n=\frac{X_1+\cdots +X_n-n\cdot \mu }{\sqrt{n}\cdot \sigma }$$

Dann konvergiert die Verteilungsfunktion $F_n(U)$ der Zufallsvariablen $U_n$ gegen die Verteilungsfunktion $\Phi (U)$ der Standardnormalverteilung.

$$F_n(U)\stackrel{n\to \infty }{⟶}\Phi (u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^u{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt$$

Summen von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen sind näherungsweise normalverteilt.

Für die Approximation der Binomialverteilung ergibt sich folgender Sonderfall:
Erinnerung

$$X_1,\dots ,X_n\sim Ber(p)$$ $$\Rightarrow X_1+\cdots +X_n\sim Bin(n,p)$$

Grenzwert von Moivre-Laplace

Sei $X\sim Bin(n,p)$.
Dann konvergiert die Verteilungsfunktion $F_n(u)$ der standardisierten Zufallsvariablen $U=\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{x-n\cdot p}{\sqrt{n\cdot p(1-p)}}$ für $n\to \infty$ gegen die Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung

Faustregel: Binomial Annäherung zu Normalverteilung

Approximation liefert gute Werte, falls

$${\sigma }^2=n\cdot p\cdot (1-p)>9$$

Beispiel:
Bestimmte Pflanzensamen sind zu $95\%$ keimfähig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von $500$ ausgewählten Keimen

• a) Höchstens $470$
• b) Mindestens $470$ und höchstens $485$
• c) Mindestens $480$
  keimen?

$X$ ist die Anzahl keimfähiger Körner
$X\sim Bin(500,0.95)$
$E(X)=500\cdot 0.95=475$
$Var(X)=500\cdot 0.95\cdot 0.05=23.75>9$

Zentraler Grenzwertsatz $\to \frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{x-475}{\sqrt{23.75}}\sim Bin(0,1)$

a)

$$P(X\le 470)=\Phi \left(\frac{470-475}{\sqrt{23.75}}\right)=\Phi (-1.03)=1-\Phi (1.03)=0.1515$$

b)

$$P(470\le X\le 485)=\Phi \left(\frac{485-475}{\sqrt{23.75}}\right)-\Phi \left(\frac{469-475}{\sqrt{23.75}}\right)=0.8705$$

c)

$$P(X\ge 480)=1-\Phi \left(\frac{479-475}{\sqrt{23.75}}\right)=1-\Phi (0.82)=1-0.7939=0.2061$$