Normalverteilung

Die Gauß’sche Normalverteilung

Zahlreiche Zufallsvariablen in Naturwissenschaft und Technik, wie z.B. physikalisch-technische Messgrößen genügen einer Stetigen Verteilung mit Dichtefunktion.

Definition:
Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen $X$ mit der Dichtefunktion

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\ast e^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2}$$

und der Verteilungsfunktion $F(x)$

$$F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)}^2}dt$$

heißt Gauß’sche Normalverteilung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$.
Man kann zeigen:

$$\begin{array}{ll}E(X)& =\mu \\ Var(X)& ={\sigma }^2\end{array}$$

Man schreibt: $X\sim N(\mu ;\sigma )$

Maximum bei $x=\mu$ und Wendestellen bei $x=\mu \pm \sigma$

Eigenschaften der Dichtefunktion:

• Die Dichtefunktion ist symmetrisch zur Geraden $x=\mu$
• $f(x)$ ist normiert, d.h. die Fläche zwischen Dichtefunktion und $x$-Achse hat den Wert $1$
• Die Gestalt der Dichtefunktion $f(x)$ erinnert an eine Glocke.

Form der Kurve

Der Parameter $\mu$ legt die Position des Maximums fest.
$\sigma$ bestimmt die horizontale Streckung. Aufgrund der Normierung ist er damit auch für die Höhe der Kurve verantwortlich. Eine kleine Standardabweichung hat eine höhere, schmalere Kurve zur Folge.

Die Standardnormalverteilung

Die im vorausgegangenen Abschnitt behandelte allgemeine Gauß’sche Normalverteilung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma$ lässt sich stets auf die Standardnormalverteilung mit den Parameterwerten $\mu =0$ und $\sigma =1$ zurückführen.

$X\sim N(\mu ;\sigma )$

Standardtransformation

$$u=\frac{x-\mu }{\sigma }\sim N(0;1)$$

Dichtefunktion:

$$\phi (u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{u}^2}$$

Verteilungsfunktion:

$$\Phi (u)=P(U\le u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^u{e}^{-\frac{1}{2}{t}^2}dt$$

Erläuterung zur tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:

• Integral ist unnötig schwer zu berechnen, Tabelle (moodle: Verteilungstabelle_Standardnormverteilung.pdf) wird in der Klausur gestellt
• Lesen:
  Zeilen sind erste Kommastellen
  Spalten zur höheren Präzision weitere Nachkommastellen

Beispiel:
1.)
$\Phi (1,58)=0.9429$
Tabelle ablesen: Reihe 1.5 - Spalte 8

2.)

$\Phi (-u)=1-\Phi (u)$
Tabelle kann nur positive Zahlen, durch Symmetrie und Gegenereignis kann der Wert für negative Ergebnisse bestimmt werden

$\Phi (-1.25)=1-\Phi (1.25)=1-0.8944=0.1056$

Tabelle nur bei Standardnormalverteilung

Allgemeine Normalverteilung muss in Standardverteilung umgeformt werden um die Werte aus der Tabelle nutzen zu können

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

1. $P(X\le x)$

Sei $X\sim N(\mu ;\sigma )$

$$P(X\le x)=F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)}^2}dt$$

Substitution:

$$u=\frac{t-\mu }{\sigma }\frac{du}{dt}=\frac{1}{\sigma }⟶dt=\sigma \cdot du$$

Untere Grenze:

$$t\to -\infty ⟹u\to -\infty$$

Obere Grenze:

$$t=x⟹u\to \frac{x-\mu }{\sigma }$$

Daher gilt:

$$\begin{array}{ll}F(x)& =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{t-\mu }{\sigma }\right)}^2}dt\\ & =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\frac{x-\mu }{\sigma }}{e}^{-\frac{1}{2}{u}^2}dt\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\frac{x-\mu }{\sigma }}{e}^{-\frac{1}{2}{u}^2}\\ & =\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\end{array}$$

Umformung

$$P(X\le x)=F(x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$$

Beispiel:
Sei $X\sim N(6;2)$

$$P(X\le 10.42)=F(10.42)=\Phi \left(\frac{10.42-6}{2}\right)=\Phi (2.21)=0.9864$$

2. $P(X\ge x)$

Sei $X\sim N(\mu ;\sigma )$

$P(X\ge x)=1-P(X\le x)$

Also gilt allgemein $P(X\ge x)=1-\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$

3: $P(a\le X\le b)$

$X\sim N(\mu ;\sigma )$

$$P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a)$$

Beispiel
Sei $X\sim N(2;6)$

$$P(0\le X\le 1)=\Phi \left(-\frac{1}{6}\right)-\Phi \left(\frac{1}{3}\right)=0.0618$$