Stetige Zufallsvariablen

Definition Stetige Variable

Wir nennen eine Zufallsvariable stetig, wenn sie einen beliebigen Wert aus einem endlichen oder unendlichen Intervall annehmen kann.
Dabei wird die Verteilungsfunktion in Integralform dargestellt

$$\begin{array}{c}F(X)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(u)du\end{array}$$

Der Integrand $f$ ist die Dichtefunktion der stetigen Verteilung

Eigenschaften von $f$ und $F$

• $f(x)\ge 0$
• $f$ ist normiert, dh ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
• Die monoton wachsende Verteilungsfunktion $F$ ist Stammfunktion der Dichtefunktion $f$
  d.h. $\boxed{F^{\prime }(x)=f(x)}$

Glockenkurve

Beispiel

1 Verteilung gegeben

$$F(x)=\{\begin{array}{cl}0& x<2\\ \frac{x-2}{3}& 2\le x\le 5\\ 1& x>5\end{array}$$

$$f(x)=\{\begin{array}{cl}0& x<2\\ \frac{1}{3}& 2\le x\le 5\\ 0& x>5\end{array}$$

2 Dichte gegeben

Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion

$$f(x)=\{\begin{array}{cl}0& x<0\\ 0.02x& 0\le x\le 10\\ 0& x>10\end{array}$$

$$F(x)=\{\begin{array}{cll}c& x<0& c=0\\ 0.01x^2& 0\le x\le 10& \\ c& x>10& c=1(\text{Monotonie beru¨cksichtigt})\end{array}$$

3

Die Lebensdauer $T$ eines elektronischen Bauteils sei eine exponentialverteile Zufallsvariable mit Dichtefunktion

$$f(t)=\{\begin{array}{cl}0& t<0\\ 0.1e^{-0.1t}& t\ge 0\end{array}$$

Verteilungsfunktion

$$F(t)=-e^{-0.1t}+1=1-e^{-0.1t}$$

P(t > 10)

$$P(T\ge 10)={\int }_{10}^{\infty }f(t)dt=F(\infty )-F(10)=\left(1-0\right)-\left(1-\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\approx 0.368$$

---

Definition

Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion $f$

1. Erwartungswert $E(X)=\mu$
   $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\ast f(x)dx$
2. Varianz $Var(X)={\sigma }^2$
   $\sigma ={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\left(x-\mu \right)}^2\ast f(x)dx$
3. Standardabweichung $\sigma$
   $\mu =\sqrt{Var(x)}$

Beispiel 1

Sei $X$ eine stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion

$$f(x)=\{\begin{array}{cl}0.02x& 0\le x\le 10\\ 0& \text{sonst}\end{array}$$

Erwartungswert

$$E(x)={\int }_0^{10}x\ast (0.02x)dx={\left[\frac{0.02}{3}{x}^3\right]}_0^{10}=6.\overline{66}$$

Varianz

$$Var(x)={\int }_0^{10}(x-6.\overline{66}{)}^2\ast (0.02x)dx={\left[\frac{0.02}{3}{x}^3-0.0\overline{66}{x}^2\right]}_0^{10}=6$$

TODO, Quadrat am Anfang vergessen 50/9 ist richtig, nicht 6

Standardabweichung

$$\sigma =\sqrt{Var(x)}=\sqrt{\frac{50}{9}}$$

Beispiel 2

$T\sim Exp(\lambda )$

$$f(t)=\{\begin{array}{cl}0& t<0\\ \lambda e^{-\lambda t}& t\ge 0\end{array}$$ $$E(T)={\int }_{-\infty }^{\infty }t\ast f(t)dt={\int }_{-\infty }^{\infty }\underset{u}{\underbrace{t}}\ast \underset{v^{\prime }}{\underbrace{\lambda \ast e^{-\lambda t}}}dt$$

Erwartungswert und Varianz von Funktionen einer Zufallsvariablen

Definition

Sei $X$ eine Zufallsvariable mit Dichtefunktion $f$ und $Z=g(X)$ eine von $X$ abhängige Funktion. Dann definiert man:

1. Falls $X$ diskret ist
   $E(Z)=E(g(X))={\sum }_{i}g(x_i\ast f(x_i))$
   $Var(Z)={\sum }_i(g(x_i)-\mu {)}^2\ast f(x_i)$
2. Falls $X$ eine stetige ZV ist:
   $E(Z)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)\ast f(x)dx$
   $Var(Z)={\int }_{-\infty }^{\infty }(g(x)-\mu {)}^2\ast f(x)dx$

In beiden Fällen kann die Varianz auch über das zweite Moment berechnet werden.

$${\sigma }^2=\underset{\text{Normale Berechnung Varianz}}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(x-\mu \right)}^2\cdot f(x)dx}}=\underset{\text{Zweites Moment und Erwartung}}{\underbrace{E(X^2)-[E(X){]}^2}}$$

Beispiele

Diskret

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x_i)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$
Sei $Z=x^2$, dann gilt

$$E(Z)=E(x^2)=\sum _{i=1}^4{x}_i^2\ast f(x_i)=\frac{56}{8}=7$$

Stetig

Sei $X$ eine stetige ZV mit Dichtefunktion

$$f(x)=\{\begin{array}{cl}0& x<0\\ e^{-x}& x\ge 0\end{array}$$ $$Z=2x+1$$ $$E(Z)=E(2x+1)={\int }_{-\infty }^{\infty }(2x+1)\ast (e^{-x})dx=\cdots =3$$

TODO

Integrieren von Produkten nachrechnen / üben

Satz

Sei $X$ eine ZV; $Z=aX+b$ dann gilt:

1. $Var(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$
2. $E(Z)=E(aX+b)=a\ast E(X)+b$
3. $Var(Z)=Var(aX+b)=a^2\ast Var(X)$
4. ${\sigma }_Z={\sigma }_{aX+b}=|a|{\sigma }_b$

Beispiel Lineare Transformation

Sei $X$ eine ZV mit $E(X)={\mu }_x$ und $Var(X)={\sigma }_x^2$

Definiere $Z=\frac{X-{\mu }_x}{{\sigma }_x}=\frac{1}{{\sigma }_x}\ast X-\frac{{\mu }_x}{{\sigma }_x}$
Dann

$$E(Z)=E(\frac{1}{{\sigma }_x}\ast X-\frac{{\mu }_x}{{\sigma }_x})=\frac{1}{{\sigma }_x}\ast \underset{{\mu }_x}{\underbrace{E(X)}}-\frac{{\mu }_x}{{\sigma }_x}=0$$

und

$$Var(Z)={\left(\frac{1}{{\sigma }_x}\right)}^2\ast \underset{{\sigma }_x^2}{\underbrace{Var(X)}}=1$$

$Z$ heißt standardisierte Zufallsvariable