Gleichungen

Lineare Gleichungen

Bei Bruchgleichungen auf Definitionsmengen achten.

Quadratische Gleichungen

Mitternachtsformel
$x_{1/2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Satz von Vieta

$$\begin{array}{rll}a=1\to & x_1+x_2& =-b\\ & x_1\ast x_2& =c\end{array}$$

Wurzelgleichungen

Probe!
Durch quadrieren können Ergebnisse entstehen die keine Lösung sind.

Biquadratische Funktionen

Substitutionen

Bruchgleichungen

Über Linearfaktorzerlegung aller Nenner den Hauptnenner finden

$$\frac{3x+1}{3x-6}+\frac{x+3}{10x}=-\frac{1}{15x-30}$$ $$\begin{array}{c}\begin{array}{llcccc}3x-6& =3& \ast (x-2)& & & \\ 10x& =& & 2& \ast 5& \ast x\\ 15x-30& =3& \ast (x-2)& & \ast 5& \\ & =3& \ast (x-2)& \ast 2& \ast 5& \ast x\end{array}\\ \\ =30x(x-2)\leftarrow \text{Kleinster gemeinsamer Nenner}\end{array}$$

Größere Polynome

Durch Systematisches Probieren beschafft man sich eine Lösung $x_0$
Anschließend kann man das gesamte Polynom durch $(x-x_0)$ dividieren um ein einfacheres Polynom zu erhalten. Diese Schritte lassen sich wiederholen bis das resultierende Polynom trivial lösbar ist.

Systematisches Probieren

Bei Polynomen mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten ist jede Nullstelle ein Teiler des Abschlussglieds $a_0$.
(Nicht alle Teiler sind Nullstellen, aber alle Nullstellen sind Teiler)