Grenzwerte von Folgen

Definition

Eine Zahl $g$ ist dann Grenzwert einer Folge, wenn zu jedem $\epsilon >0$ eine Zahl $n_0$ existiert, so dass $|a_n-g|<\epsilon$ für jedes $n>n_0$.

Die Folge kann also einen beliebigen, stetig kleiner werdenden Abstand zu $g$ erreichen.

Beispiel

$a_n=(-1{)}^n\ast \frac{1}{n}+2;\epsilon =0.15$

$$\begin{array}{c}\left|\left({\left(-1\right)}^n\ast \frac{1}{n}+2\right)-2\right|<0.15\\ \to n>6\frac{2}{3}=6.\overline{6}\\ \to n_0=7\end{array}$$

Sonderfall

$a_n=1+(-1{)}^n+\frac{1}{n}$
Diese Folge scheint 2 Grenzwerte zu besitzen, jedoch ist durch die $\epsilon$-Definition dieser Fall nicht als Grenzwert kategorisiert. Stattdessen spricht man von 2 “Häufigkeitspunkten”